matlab伯德图横坐标步长_频率响应法与matlab指令计算
提要：前⾯考察了阶跃信号和斜坡信号的测试输⼊信号的应⽤。现在研究系统对正弦输⼊信号的稳定性。线性定常系统对正弦输⼊信号的响提要
伯德图的⽅法，讨论频率特性的极坐标图和对数幅相图，重新考虑系统的⼏种时不同幅值和相⾓的正弦信号。引⼊伯德图
相同频率、不同幅值和相⾓
应，是具有相同频率
系统带宽的概念。
域指标，并引⼊系统带宽
引⾔：前⾯的章节，利⽤复变量s及s平⾯上的零点和极点分布来刻画系统的响应和性能。这⾥是介绍另⼀种⾮常重要⽽且实⽤的系统分析和引⾔
频率响应法。
设计⽅法—频率响应法
收获
（1）频率响应的基本概念及其在控制系统设计中的应⽤；
（2）⼿绘伯德图的⽅法和⽤matlab计算伯德图；
极坐标图、伯德图、对数幅相图；
（3）三种坐标表述：极坐标图、伯德图、对数幅相图
（4）⽤频率响应法设计控制器，并满⾜预期的指标要求。
⼀. 基本概念
1. 频率响应
系统的频率响应定义是，系统对争先输⼊信号的稳态响应。正弦信号是⼀种独特的输⼊信号，在它的激励下，系统的输出信号及内部个节点的信号，在系统达到稳态时均为正弦信号，⽽与输⼊信号相⽐，它们的频率相同，只有幅值和相⾓不同。
2. 频率响应的优点
（1）由于可以⽅便地得到各种频率和幅值的正弦输⼊信号，因此我们能够⽤试验的⼿段精确地得到系统的频率响应，这是⼀种既可靠⼜不复杂的控制系统试验分析⽅法；
（2）当系统传递函数未知时，可以⽤试验的⽅法，通过测量频率响应来推导系统的传递函数；
（3）在频率域内进⾏系统设计时，还能够有效地控制系统带宽，从⽽达到控制噪声和⼲扰的⽬的；
（4）⽅便得到，只要⽤jw替换复变量s，就能够由传递函数T(s) 直接得到系统的频率特性函数T(jw)，它包含了幅值和相⾓两个因素，通常
揭⽰控制系统分析和设计的内涵。
⽤图形或曲线来表⽰T(jw) 的幅值和相⾓随频率变化的情况，它们能深刻地揭⽰控制系统分析和设计的内涵
3. 频率响应法的不⾜
不⾜之处在于频率域和时间域之间没有直接的联系，在实际设计⼯作中，还是有⼀些近似设计准则。
4. 极坐标图
将系统的传递函数G(s) 改写为频率特性函数，即
，将横坐标作为实部，纵坐标作为虚部，则可以得到极坐标图。
5. 对数坐标图/伯德图
假设系统在频率域内的传递函数为
，在对数坐标图中，我们通常⽤以10为底的对数来表⽰频率响应的幅值，即将赋值表⽰为：
6. 转折频率/转⾓频率
假设频率特性传递函数为
，则可以得到相频特性图中的转折频率/转⾓频率为
7. ⼗倍频程
⼆倍频程的概念
⼗倍频程，类似地有⼆倍频程
在相频特性曲线中，将两个频率点之间相差10 倍记为⼗倍频程
8. ⾮最⼩相位传递函数
之前的接触中，G(s) 的零点和极点都处在 s 左半平⾯，但实际上，⼀个系统也可能有位于 s 右半平⾯的零点，此时系统仍然可能是稳定
⾮最⼩相位传递函数。
的。在 s 右半平⾯有零点的传递函数称为⾮最⼩相位传递函数
9. 最⼩相位传递函数
把零点全部位于 s 左半平⾯的传递函数
称为最⼩相位传递函数
10. 最⼩相位
最⼩相位系统
的相移范围⼩于
,⽽
⾮最⼩相移范围⼤于
（
Boost电路）
Boost电路
11. 全通⽹络
⼀个有趣的⾮最⼩相位系统，它具有对称的⽹络结构。
12. 谐振峰值
谐振峰值
是频率响应的最⼤值，它出现在谐振频率
处
13. 系统带宽
系统带宽
定义在幅频特性曲线上，对数幅值增益从低频值下降 3dB 时所对应的频率。⼤致相当于下降到低频幅值的
倍时对应的频率
14. 对数幅相图
在⼀定的频率变化范围内，直接绘制对数幅值增益随相⾓的变化曲线，所得到的图形就称为对数幅相图。（得到对数幅相曲线较为简便的⽅
在研究频率域内的稳定性时，就会⽤到对数幅相
法是，先绘制伯德图，再将其中的信息转换到由对数幅值和相⾓构成的坐标系中），在研究频率域内的稳定性时，就会⽤到对数幅相图，并⽤它来研究闭环反馈控制系统的相对稳定性。
图，并⽤它来研究闭环反馈控制系统的相对稳定性
⼆. 基本知识回顾
拉普拉斯变换对的定义
1. 拉普拉斯变换对
，其中复变量为
傅⾥叶变换对的定义
2. 类似地，也给出了傅⾥叶变换对
3. 拉普拉斯变换与傅⾥叶变换
如果已知
的拉普拉斯变换为
，只要令
，
我们就饿能够得到它的傅⾥叶变换。
既然这两种变换是如此的相似，那为什么不⼀直使⽤拉普拉斯变换⽽还要重新引⽤傅⾥叶变换呢？
既然这两种变换是如此的相似，那为什么不⼀直使⽤拉普拉斯变换⽽还要重新引⽤傅⾥叶变换呢
各有所长，各有侧重。由拉普拉斯变换可以导出系统的传递函数T(s)，基于拉普拉斯变换的 s 平⾯⽅法侧重于分析系统的零点和极点分布。⽽由傅⾥叶变换可以导出系统的频率特性函数T(jw) ，基于傅⾥叶变换的频率响应法将重点转向了系统的幅频特性和相频特性。
4. 频率特性函数中的时钟基本因⼦项
（1）常数增益：
常数项
的
对数幅值增益为
对数幅值增益
，以dB为单位；
相⾓为
其相⾓
当增益是负值时，其对数增益仍然是
因此，在伯德图上，其对数增益曲线是⼀条⽔平线。⽽当增益是负值
，但是负号使相⾓变成了
（2）原点处的极点或零点项：
原点处的极点项，它对应的对数幅值增益为
考虑原点处的极点项
dB，因此在伯德图上，原点处的极点项对应的对数幅值增益曲线的斜率为
。
对应的相⾓为
多重极点，则曲线斜率变为
，相⾓为
原点处的零点，它对应的对数幅值增益为
考虑原点处的零点
，
对应的相⾓为
（3）实轴上的极点或零点项：
考虑实轴上的极点项
其对数幅值增益为
.分析：当
，
对数幅值增益曲线的渐近线为直线
；⽽当
，对数幅值增益的渐近线为斜线
，斜率为
，其中
称为转折频率，在
处，实极点项的实际对数幅值增益为-3 dB。
实极点项的相⾓的表⽰为
考虑实零点项
的伯德图
渐近线的斜率变为
，
相⾓变为
（4）共轭复极点或零点项
（4）共轭复极点或零点项：
共轭复极点对应的⼆阶基本因⼦项的典型形式为
共轭复极点对应
，其中
。
共轭复极点项的对数幅值增益为
相⾓为
分析：当u<<1时，对数幅值增益为
，相⾓趋于0；
当u>>1时，对数幅值增益近似为
，相⾓趋于
注意这两条渐近线在频率点
处相交，实际的对数幅值增益曲线和渐近线之间的误差是阻尼⽐的函数。当
时，不能忽略这项误差。频率响应的幅度有⼀个最⼤值
，它出现在谐振频率
处。当阻尼⽐趋于0时，谐振频率
趋于固有频率
谐振频率
frequency函数计算频数与此频率对应的幅值最⼤值为
5. 伯德图的绘制
将每个零点和Ian 极点因⼦项的伯德图叠加起来，就可以的带含有多个零点和极点的传递函数
的完整的伯德图。
6. 频率响应测量
正弦信号可以⽤来测量控制系统的开环频率响应，实际的测量结果通常是幅值和相⾓随频率的变化曲线。利⽤这两条曲线，就可以导出系统的开环频率特性函数
。同样，也可以测量系统的闭环频率响应，从⽽导出闭环频率特性函数
7. 频域性能指标
如何将系统的频域响应和时域响应结合起来？（超调量、调节时间、平⽅误差等）
考虑⼀个前向通道函数为
的单位负反馈的闭环传递函数为
对⼆阶系统⽽⾔，谐振峰值
出现在谐振频率
处，它与阻尼⽐
有关;
谐振频率
和-3dB带宽
与瞬态时间响应的速度有关。当
增⼤时，系统的上升时间将随之减⼩；
谐振峰值
则通过阻尼⽐
与超调量有关。通常情况下，谐振峰值
增⼤时，阶跃输⼊的超调量将随之增⼤，此外，谐振峰值还反映了系统的相对稳定性。
频率响应的系统带宽与固有频率之间近似存在着线性回归的关系。
三. 使⽤matlab计算
使⽤的函数是 bode（绘制伯德图，bode（sys）既适⽤于传递函数的形式，也适⽤于状态空间的形式） 和 logspace（⽤于⽣成对数刻度的频率点向量）
在学习过程中，培养⼿⼯绘制伯德图的能⼒才是最基础、最重要的⼯作，勤于动⼿才能深⼊理解和掌握控制系统的理论和⽅法
在学习过程中，培养⼿⼯绘制伯德图的能⼒才是最基础、最重要的⼯作，勤于动⼿才能深⼊理解和掌握控制系统的理论和⽅法。
1 绘制伯德图
绘制伯德图，考虑传递函数
%  The Bode plot of
%
%                        0.5 s + 5
%  G(s) = ----------------------------------------
%          0.0002 s^4 + 0.0064 s^3 + 0.512 s^2 +  s
%
%  using the logspace function to generate
%  the frequency points.
%
num=5*[0.1 1];
den=[0.0002 0.0064 0.5120 1 0];
sys=tf(num,den);
w=logspace(-1,3,200);
bode(sys,w);
上图中，函数bode⾃动选择了频率变化的范围，也可以使⽤函数logspace来指定⽣成这个范围。
2. 时域和频域之间的关系
控制系统的设计⽬的是使系统满⾜给定的时域性能指标的要求，因此在频域内设计控制系统时，应当⾸
先建⽴频率响应和时域响应的相互联系。⽽且，这两个问题域中的指标之间的联系完全取决于系统能否⽤主导极点
幸运的是，⼤部分实
主导极点近似⼆阶系统，以及近似的精确程度。幸运的是，⼤部分实际控制系统都有⼆阶主导极点，因⽽能够⽤⼆阶系统降阶近似。
际控制系统都有⼆阶主导极点，因⽽能够⽤⼆阶系统降阶近似
考虑典型的⼆阶系统，其闭环传递函数为

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