讲座3  负频率
本讲座分为讲座3_1 和讲座3_2。其中，讲座3_2是陈怀琛教授的一篇论文《论频谱
中负频率成分的物理意义》。读者参与讲座3_1 后，请再参与讲座3_2，这会对负频率有更
深刻的认识。      讲座 3_1  关于负频率和信号频谱
3.1． 负频率的意义
下面对模拟余弦（正弦）信号讨论正、负频率问题。有关概念也可用于数字信号。
模拟余弦（正弦）信号可以用幅度A 、频率f 和初相位0φ这三个参数来描述，例如，
)2cos()(0φπ+=ft A t s                          （3.1.1）
其中，f 的单位是赫芝（Hz ）。称f Ωπ2=为角频率，其单位是弧度/秒。于是，式（3.1.1）
可写为
frequency函数计算频数
)cos()(0φ+=Ωt A t s                          （3.1.2）
不妨假定初相位00=φ。对于余弦信号)(t s ，有
)cos()(φA t s =                              （3.1.3）
式中，φ是瞬时相位
ft πφ2=                                    （3.1.4）
同理，对于正弦信号，有
)sin()(φA t s =                              （3.1.5）
在图3.1.1所示的复平面中，以原点O 为圆心，画一个半径为A 的圆。圆周上的动点S
与圆心的连线形成一个向量。它与实轴的夹角φ正比于时间t 。0=t 时，向量OS 与实轴重
合。它在实轴、虚轴上的投影，就其大小来说，就分别是式（3.1.4）、（3.1.5）所示的余弦信
号和正弦型号的瞬时值。
图3.1.1 正、余弦信号的产生
图3.1..1中，相位φ是时间t的函数。以实轴为基准，φ或为正、或为负，正如评价某人的经济状况，要看持有现金和借入款项的多少。如果约定向量OS反时针转动时，实轴到该向量的夹角φ为正，那么，顺时针转动时,φ就取负值。由此看来，按照这种约定，作为参数的频率f可正可负。f为正时，向量OS反时针转动，反之，f为负时，向量OS顺时
针转动。这就是频率或为正、或为负的物理意义。
正、余弦信号的频谱是由幅度、频率和初相位来表征的。图3.1.2a~d绘出频率为5Hz 或-5Hz 的正弦、余
弦信号。由图可见，频率之为正或为负，只影响正弦信号的初相位。与正
180相位移。在某些应用中，这样的相位移频率的正弦信号相比，负频率的正弦信号具有0
并无任何影响。例如，以声频调制高频载波时，载波的相位移并不影响声频信号的解调。
图3.1.2 使用正频率和负频率的正、弦余弦信号
3.2  欧拉公式
由图3.1..1可见，基于直角坐标，向量OS 可表示为
)sin()cos(φφjA A OS +=                        （3.2.1）
还可以用极坐标来表示这个向量。图3.2.1表示，若以φj x =代入x e 的级数展开式，即得欧拉公式：
)s i n ()c o s (φφφj e
j +=                            （3.2.2）
图3.2.1  欧拉公式的导出
根据欧拉公式，式（3.2.1）可写为
)sin()cos(φφφjA A Ae OS j +==                  （3.2.3）
上式说明，动点φj Ae 沿圆周旋转时，沿实轴产生信号)cos(φA ，而沿虚轴产生信号
)sin(φjA 。
下面的Matlab 程序演示函数ft
j Ae π2
在两个坐标轴上的投影分别是正弦函数和
余弦函数（图3.2.2）。
%  L030201.M
%
clear;  set(gcf,'color','w');
f = 0.05;  w = 2*pi*f;  t = 0:50;
a = -ones(1,length(t));
plot3(sin(w*t),t,cos(w*t),'b');          图3.2.2  函数π f  t j e 2在两个互相垂直平面
grid on;    hold on;                          上的投影
plot3(sin(w*t),t,a,'r');  hold on;
a = -a;
pot3(a,t,cos(w*t),'r');  hold on;
3.3  运算子j 的作用
现在来研究j 作为一个算子（operator ）的作用。
在图3.3.1  中，在实轴截取OB OB -='，在虚轴
截取OA OA ='，可得jOS OS ='
。
图3.3.1  算子j 的作用
因此，向量乘以算子j 将导致该向量逆时针旋转090；                                              反之，向量除以算子j （即乘以算子j -）时，该向量将
顺时针旋转090，如图3.3.2所示。
3.4.  实信号的分解
我们知道，余弦信号是偶对称信号，正弦信号是奇对
称信号。所以，偶对称信号（图L3.4.1 A ）不可能含有正
弦分量，这类信号由许多不同频率的余弦分量线性组合而
成；而奇对称信号（子图B ）则只有正弦分量。以上两类    图3.3.2  算子j 的作用
信号都属特例。一般实信号会如子图C 所示，既不是偶
对称，也不是奇对称。这类信号既有余弦分量，也有正
弦分量。
图3.4.1  对称性不同的信号
按照线性空间理论，一般信号是无限维空间的一个向量。为了在最小均方误差准则下逼
近这个向量，所用的正交基向量应满足封闭性和完备性。二者既有联系，又有区别。正交函
数系)},({t n ϕ称为封闭的(closed)，如果不存在一个平方可积的函数)(t φ（即
∞<⎰t t b a t t d )(2φ）
，它与函数系)},({t n ϕ中的每一个函数是正交的，即不存在满足 0d ),()(=⎰t t n t b
a t t ϕφ        对所有n            （3.4.1）
的)(t φ。完备性与封闭性的关系是：完备的正交函数系总是封闭的；但是，反过来就不一定真实了。余弦函数系和正弦函数系各自具有封闭性，但都不完备。所以，余弦函数系或正弦函数系都不能单独地表示一般信号。但它们二者合在一起就形成复指数函数系。这个函数系既是封闭的又是完备的，足以表示任何信号。
3.5  实信号的频谱
如上所述，一般来说，实信号由余弦分量组成。下面只考虑单频信号。读者应该知道怎样用复指数函数表示余弦信号和正弦信号。根据式（3.2.3），有
)sin()cos(φφφjA A Ae j +=                        （3.5.1）
式中，A 是信号幅度，φ是瞬时相位，
Ft πφ2=                                        （3.5.2） 其中，F 是信号频率。
由式（3.5.1）知实轴上的余弦信号是
t F j t F j t F j t F j e A e A Ae Ae Ft A )(2)(2)(2)(22
22)2cos(--+=+=πππππ      （3.5.3） 虚轴上的正弦信号是
t F j t F j t F j t F j e A j e A j j Ae Ae Ft jA )(2)(2)(2)(22
22)2sin(πππππ-=-=--  （3.5.4） 在这两个式子中，指数因子t F j e )(2π和t F j e )(2-π分别代表以频率F 和F -旋转的单位向量，故前者绕原点逆时针旋转(CCW)，后者则绕原点顺时针旋转(CW).。由式（3.5.3）可见，对
于余弦信号)2cos(Ft A π，CCW 和CW 分量的向量幅度都是
2
A ；而由式（3.5.4）看出，对于正弦信号)2sin(Ft jA -π，CCW 和CW 分量的向量复数幅度分别是2
A j -（向量长度是2A ，相位是2π-）和2A j （向量长度是2A ，相位是2π）。    CCW 和CW 分量的向量幅度代表了信号的幅度谱。图3.5.1显示单频余弦信号和正弦信号的幅度谱以及这两种信号的形成。

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