1引言
在脉冲噪声环境下，对信号进行谱估计是近期研究的一个热点。文献[1]对前期的α稳定分布脉冲噪声理论进行了较系统的研究，在此基础上，文献[2]定义了一种分数阶谱——α谱，文献[3]定义了另一种分数阶谱——共变谱，它们适合1£p<α的情况。文献[4]定义了分数低阶协方差谱，将适用范围扩展到0£p<α。文献[5]定义了多种非线性变换函数，扩展了分数低阶协方差谱的含义，定义了广义分数低阶协方差谱、循环谱和多谱，它不要求辨识信号特征指数α，并用于有谐波信号的频率估计。
由于实际得到的数据总是有限的，需要谱估计。文献[2]提出了基于共变（Covariation）的α谱估计方法，文献[6-7]提出了基于分数低阶协方差的AR（MA）SαS模型α谱估计方法。它们分别利用共变系数矩阵和分数低阶协方差（Fractional Lower Order Covariance，FLOC）矩阵求出参数模型，然后利用z=e jω求出系统的频率特性，以此作信号谱估计，并指出FLOC方法较分数低阶矩（Fractional Lower Order Moments，FLOM）估计共变系数而得到的模型参数方法具有更好的辨识性能。在脉冲噪声环境下求出AR SαS系统模型参数更准确的方法是文献[8]的最小p范数方法（Least P Norm，LPN）。利用模型参数作谱估计的重要步骤是模型阶数的确定。文献[9]提出的ARMA模型阶数确定的奇异值分解（SVD）方法在观测数据较短时能提供较准确的阶数。但在α脉冲噪声环境下，由于信号不存在二阶统计量，算法会失去韧性。为此，对α谱估计方法和SVD确定模型阶数进行改进，提出了一种基于最小p范数准则的α谱估计方法。该方法先对传统的SVD法确定模型阶
⦾数据库、信号与信息处理⦾
最小p范数准则α谱估计及载波频率检测
江金龙，查代奉，樊红社
JIANG Jin-long，ZHA Dai-feng，FAN Hong-she
九江学院电子工程学院，江西九江332005
College of Electronic Engineering，Jiujiang University，Jiujiang，Jiangxi332005，China
E-mail：****************
JIANG Jin-long，ZHA Dai-feng，FAN Hong-she.Least p norm criterionαspectrum estimation with carrier frequency de-tection.Computer Engineering and Applications，2010，46（21）：138-141.
Abstract：Least P Norm criterion（LPN）is proposed to improve performance of alpha spectrum estimation based on covaria-tion coefficient matrix and Fractional Lower Order（FLO）covariance matrix；An improved Singularity Value Decomposition （SVD）method，named FLO-SVD，is used t
o estimate minimal order of AR SαS signal model；LPN and IRLS algorithm are identified the parameters of model for estimating alpha spectrum of signal.Simulation results on QPSK signal in impulsive noise show that the proposed method has better performance than methods based on covariation coefficient matrix and FLO covariance matrix and exacter estimation than conventional SVD method in carrier frequency detections.
Key words：nonGaussian signal processing；alpha spectrum estimation；least p norm criterion；fractional lower order Singulari-ty Value Decomposition（SVD）method；carrier frequency detections
摘要：针对共变系数矩阵和分数低阶协方差矩阵估计AR SαS信号α谱精度不高的情况，提出了一种最小p范数准则的α谱估计方法。该方法对传统的奇异值分解（SVD）方法估计AR SαS信号模型最小阶数进行改进，得到一种分数低阶的奇异值分解方法（FLO-SVD），然后利用最小p范数准则和IRLS算法求出信号模型参数，用于作α谱估计。应用于脉冲噪声环境下的QPSK信号的仿真表明，改进后的方法对α谱有更好的估计，对载波频率有更准确的检测性能。
关键词：非高斯信号处理；alpha谱估计；最小p范数准则；分数低阶奇异值分解（SVD）方法；载波频率检测
DOI：10.3778/j.issn.1002-8331.2010.21.039文章编号：1002-8331（2010）21-0138-04文献标识码：
Ａ中图分类号：TN911.23
基金项目：国家自然科学基金（the National Natural Science Foundation of China under Grant No.60772037）；江西省卫生厅科技计划项目（the Science Foundation of Department of Health of Jiangxi Province under Grant No.20072048）；江西省教育厅科技项目（the Science Foundation of Department of Education of Jiangxi Province under Grant No.GJJ09344）。
作者简介：江金龙（1969-），男，讲师，主要研究领域为随机信号处理，智能信号处理研究等；查代奉（1971-），男，博士，副教授，主要研究领域为非高斯随机信号处理，通信信号处理等；樊红社（1974-），男，讲师，主要研究领域为随机信号处理。
收稿日期：2009-02-24修回日期：2009-05-07
数进行改进，得出一种分数低阶的SVD 法用于估计模型阶数。然后利用最小p 范数准则和IRLS 算法对信号模型参数进
行估计。应用于QPSK 信号的仿真表明，改进后的方法对作α谱有更好的估计，对载波频率估计能够更准确地检测。2α稳定分布α稳定分布没有统一的显示概率密度函数，通常用其特征函数来描述：ϕ(u )=exp{j au -γ|u |α[1+j βsgn(u )ω(u  α)]}（1）式中ω(u  α)={tan(πα/2) α¹1
(2/π)log |u | α=1（2）γ>0为分散系数，类似高斯分布的方差σ2，在高斯情况下，γ=σ2/2，0<α£2为特征指数，-¥<a <¥为位置参数，βÎ[-1 1]为对称参数。sgn(u )为u 的符号函数。若α稳定随机变量X 的特征指数为α（0<α<2），则只有阶数小于α的p 阶矩是有限的[1]：ìíîïïE [|X |p
]<¥  0£p <αE [|X |p ]=¥  p ³α（3）实际遇到的脉冲噪声多数可以用对称分布噪声（S αS ）来建模，这时，a =0  β=0，仅使用α和γ两个参数。3AR 模型信号的α谱估计3.1基于共变系数和分数低阶协方差矩阵的α谱估计对于两联合S αS 分布随机变量X 和Y ，且满足1<α£2，则其共变定义为[2]：[X  Y ]α= S xy <α-1>μ(d s )（4）式中S 代表单位圆，μ(×)为S αS 分布随机变量(X  Y )的谱测度，符号<×>表示如下运算Y <p >=ìíîïï|Y |p -1
Y * Y 为复变量|Y |p sgn(Y ) Y 为实变量1£p <α（5）假定Y 的分散系数为γy ，则γy =[Y  Y ]α=||Y ||αα（6）[X  Y ]α=E (
XY <p -1>)
E (|Y |p )γy ，1£p <α（7）X 与Y 的共变系数定义为：λXY =E
(XY <p -1>)
E (|Y |p )，1£p <α（8）若X (n )为S αS 分布随机过程，则其自共变为[3]：[X (n ) X (n -τ)]α=E (
X (n )X (n -τ)<p -1>)
E (|X (n -τ)|p )γx (n -τ)（9）根据文献[2-3]，X (n )的α谱为：S α(e j ω)=åτ=-(N -1)N -1[X (n ) X (n -τ)]αe -j ωτ
（10）式中N 为序列X (n )的长度。一个AR S αS 过程X (n )可以表示为[1]：X (n )=åi =1
P a i X (n -i )+U (n )（11）其中a i （i =1 2 ... P ）为AR S αS 过程的模型参数，P 为模型阶数，U (n )是一个特征指数为α，分散系数为γu 的i.i.d S αS 过程。对式（11）两边同时取条件期望，可以得到E (X (n )|X (m ))=åi =1
P a i E (X (n -i )|X (m ))，n -P £m £n -1（12）
因为U (n )与X (n )相互独立，所以E (U (n )|X (m ))=0。由于
X (n )是稳定和平稳的，根据条件期望的性质，有
E (X (n +l )|X (n ))=λ(l )X (n )（13）
其中λ(l )是X (n +l )和X (n )的共变系数，且λ(0)=1。将式（13）代入式（12），有
λ（n -m )X (m )=åi =1
P
a i λ（n -m -i )X (m )，n -P £m £n -1（14）
定义P =[λ(1) λ(2) ... λ(P )]T ，a =[a 1 a 2 ... a P ]T ，
C =éëêêêêêêùû
ú
úúúú
ú
λ(0)λ(-1) λ(1-P )λ(1)λ(0) λ(2-P )  λ(P -1)λ(P -2) λ(0)（15）
则AR 模型参数可通过式（16）求得：Ca =p （16）
上式称为AR S αS 模型的广义Yule-Walker 方程。在实践应用中，需要根据有限的观测值估计共变系数λ(×)，常用分数低阶矩（FLOM ）法[1]。求出模型参数a 后，则AR S αS 模型的α谱为：S α(e j ω
)=γu 1|
|
||
||||1-åi =1P a i e -j ωα（
17）
根据式（8）的定义，X (n )与X (n -l )的共变系数为：
λ(l )=E (X (n )X (n -l )<p -1>)
E (|X (n -l )|p
)，1£p <α（18）
对于观测序列X (n )（n =0 1 ... N -1），基于分数低阶矩（FLOM ）
的共变系数估计值为：
λFLOM (l )=ån
X (n )|X (n -l )|p -1sgn[X (n -l )]ån
|X (n -l )|p （19）
其中当0£l £P 时，n Î[l  N -1]；当-P £l <0时，n Î[0 N -1-l ]。基于共变矩阵的α谱仅适合1£p <α的情况，若将共变矩阵
换成分数低阶协方差矩阵，则适合0£p <α的情况，也就是将式（15）中λ(l )改为式（20）中的r (l )[5]或文献[6]中的式（20）即可。
r (l )=E [(x (n ))<A >(x (n -l ))<B >]  0£A  B <α/2（20）
3.2基于最小p 范数的α谱估计
辨识AR S αS 模型参数方法有多种，在分数低阶噪声环境下，根据分数低阶矩（FLOM ）理论，可得到在最小分散系数（MD ）意义下模型参数辨识的最优方法，也称为最小p 范数（LPN ）法。
对线性AR 模型估计问题，如果观测序列为X (n )（n =0 1 ...
N -1），可以得到如下最优化问题：
frequency函数计算频数a =arg min a ån =P
N -1||X (n )-a 1X (n -1)-...-a P X (n -P )p
-1<p <α（21）
这里a =[a 1 a 2 ... a P ]T ，上标T 表示矩阵转置。
在信号处理文献中，LPN 估计常用的方法是IRLS （Itera-
tively Reweighted Least Squares ）和RSD （Residual Steepest Descent ）法。对于线性p 范数最小化问题，IRLS 是一个很好的
方法[8]，其优化目标是最小化式（22），
J =ån =P N -1
||s (n )-a T X P (n )p =ån =P N -1||r n
p
（22）
其中，s (n )=X (n )为期望信号，X P (n )=[X (n -1) X (n -2) ... X (n -P )]T ，n ³P ，P 为模型阶数，a =[a 1 a 2 ... a P ]T
，r n =s (n )-a T X P (n )。对式（22）系数向量a 的每个元素求偏导，得到¶J ¶a i =-ån =P
N -1
p ||r n p -1
sgn(r n )X (n -i )=0，i =1 2 ... P （23）由于sgn(r n )=r n /|r n |，并消去系数p ，式（23）可简化为：¶J ¶a i =-ån =P N -1
r n ||r n p -2X (n -i )=0（24）
定义一个对角加权矩阵W =diag(||r n p -2
)（25）式（24）用矩阵形式可写为：Ña J =X T W (Xa -S )=0（26）其中S =[X (P ) X (P +1) ... X (N -1)]T ，X =éëêêêêêêùûú
úúúú
ú
X (P -1)X (P -2) X (0)X (P )X (P -1) X (1)  X (N -2)X (N -3) X (N -1-P )解式（26），得：a =(X T WX )-1X T WS （27）这里a 是W 的函数，而W 又是a 的残差函数，因而没有直接解，用IRLS 迭代算法为：（1）初始化模型参数向量a (0)=(X T X )-1X T S （28）（2）计算第k 次迭代的残差r n (k )=(S -Xa (k ))n
（29）（3）计算残差对角阵W nn (k )=ìíîïï|r n (k )|p -2 |r n (k )|³ε
εp -2 |r n (k )|<ε（30）
其中，ε为一个很小的正数，以防止相应项的残差接近于0，产生病态加权矩阵W 。（4）更新模型参数向量a (k +1)=(X T W (k )X )-1X T W (k )S （31）（5）迭代循环及退出如果|||
|||  r (k +1)p -  r (k )p ||||||  r (k )p <ε，则停止；否则，回到第（2）步。其中  ×p 表示p 范数。利用最小p 范数法，可辨识模型参数a ，并计算噪声的分散系数γu （亦即残差的分散系数），从而利用式（17）估计AR S αS 模型的α谱。4分数低阶SVD 法确定模型阶数确定AR 模型阶数的方法有最终预测误差（FPE ）法、AIC 准则法和CAT （准则自回归传递）函数准则法等，但对于一个
短的数据，FPE 、AIC 和CAT 没有一个工作得很好。而奇异值分解（SVD ）法能出地完成AR 模型阶数的识别[9]。但在α脉冲噪声环境下，由于信号不存在二阶统计量，算法会失去韧性。为此，对观测序列X (n )（n =0 1 ... N -1），按式（5）或文献[5]中的式（16）~（18）作非线性变换，使变换后的信号
二阶统计量存在，从而可用传统的SVD 法确定模型阶数。对观测序列X (n )而言，信号的统计量是低阶的，为此，称之为分数低阶SVD 法（Fractional Lower Order SVD ，FLO-SVD ）。设一个ARMA （P ，Q ）过程扩展为阶数为P e ³P 、Q e ³Q 的
ARMA （P e   Q e ）过程。则修正Yule-Walker 方程为：
R e a e =0（32）式中系数向量a e =[1 a 1 a 2 ... a P  a P +1 ... P e ]T
，分数低阶协方
差矩阵
R e =éëêêêêêêùû
ú
ú
ú
úúú
R (Q e +1)R (Q e ) R (Q e +1-P e )R (Q e +2)R (Q e +1) R (Q e +2-P e )
R (Q e +M )R (Q e +M -1) R (Q e +M -P e )（33）
这里，M  P ，R (Q e )=E [f (x (n ))×f (x (n -Q e ))]，f (x (n ))表示式（5）或文献[5]中的非线性变换函数。对式（31）分数低阶协方差矩阵进行奇异值分解，R e =U ΣV H （34）
式中U 为M ´M 的酉矩阵，V 为(P e +1)´(P e +1)的酉矩阵，H 表示复数矩阵的共轭转置，Σ为M ´(P e +1)维的对角阵，其主对角线元素非负，且按从大到小的顺序从矩阵的左上角到右下角排列，σ11³σ22³...³σhh ³0（35）式中h =min(M  P e +1)。将Σ主对角线上右下角的一些元素置0，得到R e 的一个近似矩阵R e ，逼近误差用Frobenious 范数来评价。定义归一化比值
v (k )=||R e ||F ||R e ||F =éëêêù
û
úú
σ211+σ222+ +σ2kk σ211+σ222+ +σ2hh 12
，
1£k £h （36）
选择一个非常接近1的阀值，满足该阀值的k 即为模型的阶数。
当Q e =Q =0时，即适合辨识AR 模型阶数。5在载波频率检测中的应用
以QPSK 调制信号为例，其时域表达式为：S
i (t )=cos(ωc t +Q i )（37）其中i =1 2 3 4，ωc 为载波频率，Q i 为调制相位，-T s /2£t £
T s /2，T s 为符号宽度。当基带是脉冲幅度为1、脉冲宽度为T s 的
矩形脉冲时，其功率密度谱为：P (f )=T s 4éëêêùû
ú
ú||||||sin π(f +f c )T s π(f +f c )T 2+||||||sin π(f -f c )T s π(f -f c )T 2（38）
其频谱主瓣峰处即为载波频率f c 。
在脉冲噪声环境下，基于α谱的载波频率检测模型如图1所示。6性能仿真6.1模型参数辨识比较为了比较以上几种分数低阶谱估计的性能，选择AR （2）模型产生观测序列X (n )，n =0 1 ... N -1[8]：
X (n )=0.195X (n -1)-0.95X (n -2)+U (n )（39）其中U (n )为i.i.d.S αS 分布时间序列。设分散系数γ=1，特征指数α=1.1，1.3，1.5，1.9，2.0。IRLS 算法的退出准则ε=0.001。
图1载波频率检测模型图
150
100
50
2468101214161820
频率/kHz
幅
度
/
d B
（a ）常规FFT 求出地信号频谱02468101214161820
频率/kHz
150
100
50
-50
幅
度/
d B alpha real
（b ）真实谱和最小p 范数法求出的α谱
图4QPSK 信号频谱比较图
图2几种α谱比较图
1614
1210864
2
-2-4-6
00.10.20.30.40.50.60.70.80.9  1.0
归一化频率幅度/
d B
FLOM
FLOC
IRLS
REAL
当数据长度N =5000时，AR （2）模型的参数估计的均值和标准差如表1所示。从表1中可以看出，在较大数据长度情况下，基于共变矩阵（用FLOM 估计）和FLOC 矩阵辨识模型参数时受α的值影响较大，α较大时精度较高，而α较小时误差较大。而用IRLS 法辨识出的模型参数均值几乎不受α
的影响，而且精度很高，同时随着α的减小，辨识方差也越来越小。这是可以理解的。用FLOM 和FLOC 法估计式（15）系数矩阵时，是对观测信号作非线性变换[X (n )<p >]，随着α的减小，非线性问题就越明显。而IRLS 法是对观测信号的残差或噪声本身作非线性变换，自然辨识精度要高些。当数据长度较短（N =500）时，AR （2）模型的参数估计的均值和标准差如表2所示。可以看出，辨识的标准差均要小于其他两种方法，而准确程度基本不受影响。令α=1.1、γ=10、p =0.99α和N =500，分别用上述3种方法
估计X (n )的α谱如图2所示，图3是它的局部放大图，其中归一
化频率1对应耐奎斯特折叠频率（fs /2）。从图2、3中可以看
出，用FLOM 估计的共变系数矩阵和FLOC 矩阵求出α谱分辨
率较差，而用IRLS 法求出的α谱与实际频谱非常接近。
6.2载波频率检测比较对QPSK 信号，数据速率f d 、载波频率f c 、采样速率f
s 分别
取1kHz 、5kHz 、40kHz ，符号个数N =100。α噪声α=1.1，广义
信噪比为10dB ，用常规FFT 变换和本文提出的最小p 范数α谱
估计方法求出QPSK 信号频谱，并同真实频谱相比较，如图4所示，从图4中可以看出，常规FFT 变换几乎不能识别噪声的信号，而最小p 范数α谱估计方法却能很好地识别出来，尤其是主瓣部分和载波频率部分更准确些。设定不同的GSNR ，分别利用FLO-SVD 方法和SVD 法辨
识信号模型的最小阶数及载波频率，如表3所示，FLO-SVD 法
辨识的最小阶数离散性较小，而且辨识出的载波频率比较准
确，仅在弱信号时有一定方差，而传统SVD 法辨识的参数离散性较大，甚至不能正确地识别出来。a i 0.195-0.95α1.11.31.51.92.01.11.31.51.92.0FLOM 0.14330.01960.15270.01160.16990.01020.19320.00490.19660.0044-0.95610.0105-0.95350.0068-0.95220.0049-0.95070.0048-0.94900.0048FLOC 0.13440.00360.16110.00410.18130.00370.19420.00
420.19650.0044-0.87930.0043-0.92680.0062-0.94610.0056-0.95090.0049-0.94900.0048IRLS 0.19530.00100.1948
0.00140.19530.00220.19490.00390.19660.0043-0.9498
0.0009-0.9498
0.0019-0.9496
0.0019-0.95080.0042-0.9495
0.0048表1AR （2）模型的参数估计的均值和标准差（N =5000）注：2个数据的方格上、下分别为均值和方差，以下同。a i 0.195-0.95α1.11.31.51.92.01.11.31.51.92.0FLOM 0.15330.04370.15690.03540.17070.01830.19240.01310.19540.0159-0.95090.0221-0.94170.0189-0.94550.0186-0.94430.0139-0.94210.0168FLOC 0.13520.01480.15920.01580.18170.01670.19240.01210.19540.0158-0.86820.0200-0.91220.0227-0.93910.0192-0.94450.0136-0.94200.0168IRLS 0.19530.00230.19590.0067
0.19230.00820.19370.01120.19630.0154-0.95040.0027-0.9473
0.0055-0.94740.0093-0.94740.0138
-0.9459
0.0153表2AR （2）模型的参数估计的均值和标准差（N =500）图3α谱比较的局部放大图14
121086
4
2
-2
0.350.400.450.500.550.60
FLOM
FLOC
IRLS
REAL
归一化频率
幅度/d
B （下转194页）

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