第51卷第17期电力系统保护与控制Vol.51 No.17 2023年9月1日Power System Protection and Control Sept. 1, 2023 DOI: 10.19783/jki.pspc.221739
考虑可控负荷的多区域电力系统分布式模型
预测负荷频率控制
付 阳，宋运忠
(河南理工大学电气工程与自动化学院，河南 焦作 454003)
摘要：由于同步发电机的惯性较大，导致传统的集中式负荷频率控制模式反应不够迅速，而用户侧具有快速响应能力的可控负荷资源为系统的频率调节提供了新机遇。研究了考虑用户侧可控负荷资源主动参与系统频率调节的多区域互联电力系统分布式模型预测负荷频率控制问题。通过建立的含可控负荷的多区域互联电力系统负荷频率响应模型及自动发电控制模型，基于连续时域交替方向乘子法和分布式模型预测控制方法，提出了一种用户侧可控负荷资源主动参与的多区域互联电力系统分布式模型预测最优负荷频率控制模型。基于修改的IEEE39节点三区域互联电力系统进行仿真验证，结果表明所提考虑可控负荷的分布式模型预测控制策略可显著减少系统恢复至稳态所需的时间。分布式控制策略的控制自由度更高，增强了系统的可控性。
关键词：负荷频率控制；可控负荷；分布式模型预测控制；连续时域交替方向乘子法
Distributed model predictive load frequency control of a multi-area power system
considering controllable load
FU Yang, SONG Yunzhong
(School of Electrical Engineering and Automation, Henan Polytechnic University, Jiaozuo 454003, China)
Abstract: Because of the large inertia of a synchronous generator, conventional centralized load frequency control is not fast enough. Controllable load resources with fast response capability on the user side provide new opportunities for system frequency regulation. In this paper, the load frequency control of a multi-area interconnected power system with controllable load regulation capability is studied. Load frequency response and automatic generation control models of a multi-area interconnected power system with controllable load are established. Based on a continuous time domain alternating direction multiplier algorithm and the distributed model predictive control method, a distributed model predictive optimal load frequency control model of a multi-area interconnected power
system with controllable load participation is proposed. Simulation is carried out based on the modified three-area IEEE39 bus system, illustrating that the proposed model can significantly reduce the time required for the system to return to a steady state. The control freedom of the distributed control strategy is higher, and this enhances the controllability of the system.
This work is supported by the National Natural Science Foundation of China (No. 61340041 and No. 61374079).
Key words: load frequency control; controllable load; distributed model predictive control; alternating direction method of multiplier in continuous time domain
0  引言
自动发电控制(automatic generation control, AGC)是为实现电力系统发电和负荷的实时平衡，保
基金项目：国家自然科学基金项目资助(61340041，61374079)；河南省自然科学基金项目资助(182300410112) 证电网频率与联络线交换功率维持在指定值的自动综合控制系统[1-2]。广义的AGC包括负荷频率控制(load frequency control, LFC)和经济调度(economic dispatch, ED)[3]。LFC是现代互联电力系统安全稳定运行的关键，LFC根据电力系统的负荷变化控制发电机输出功率，确保系统频率维持在额定值，并保持区域联络线交换功率在计划值内[4-5]，是保证供电质
- 102 - 电力系统保护与控制
量和电力系统安全、可靠、经济运行的一种重要手段。
为实现AGC的控制目标，国内外研究人员已提出了许多控制方法和策略。目前应用最广泛的控制算法主要有基于智能算法的比例-积分-微分(proportional-integral-derivative controller, PID)控制[6-7]、基于微分博弈理论控制[8]、模型预测控制(model predictive control, MPC)[9-10]三类。基于智能算法的PID控制方法是在经典PID基础上对控制器参数采用智能算法进行整定，以达到最优控制性能。目前，PID控制仍然是AGC的主流控制方法，但传统PID 控制不具有系统优化功能，且根据系统参数变化进行PID的动态调整并不适用于实际应用。基于微分博弈理论的控制方法是将博弈理论和最优控制理论相结合，通过多方博弈达到纳什均衡的控制策略。然而，这两类控制方法都要求建模精度高，且不易处理复杂、多变量的约束条件。
MPC能够处理具有非线性、不确定性时变及延时特点的控制对象，近年来被广泛应用于AGC控制，具有系统模型要求低、控制性能好、在线优化便捷、能处理多变量约束等优点[9-10]。具体又分为集中式MPC[11]、分散式MPC[12]和分布式MPC[13-15]等。集中式MPC是将整个系统的所有输出或状态信息反馈到一个中央控制器上，控制器计算得到整个系统的控制输入，系统结构简单，但在计算量、可靠性等方面能力有限。为此，文献[12]通过将整个AGC系统划分为多个耦合子系统，提出了鲁棒性好、收敛性
快的分散式MPC方法，由分散在各区域内的MPC控制器根据系统状态信息和区域控制偏差(area control error, ACE)信号计算得到相应的控制量，并分配至区域内AGC机组，实现互联电网AGC系统的分散控制。分布式MPC方法是将集中式控制和分散式控制相结合，通过上下层的递进关系切换控制方式，兼有集中式控制和分散式控制的优点，在互联电力系统LFC中具有较大的应用潜力。例如，文献[13]提出了多区域互联电网AGC 系统的分布式MPC策略。文献[14]研究了规模化风电场参与的分布式MPC控制策略。文献[15]提出了基于分布式MPC的LFC方法，在滚动优化过程中利用正交拉盖尔函数近似预测控制轨迹，减少了MPC的计算量。
随着可再生能源并网规模的不断扩大，电力系统的频率控制面临巨大挑战。传统的集中式控制由于同步发电机的惯性较大，可能导致反应不够迅速[16]，而具有快速响应能力的规模化可控负荷为系统频率调节提供了新机遇。此外，可控负荷的调节能力有一定的限制，且该限制为物理“硬”约束，无论是在平衡点处还是在调节过程中均需满足。文献[17]根据发电机频率调节模型给出了可控负荷对频率响应的动态模型，进一步提出了负荷频率调节的分布式方法。文献[18]将负荷分为频率敏感型和非敏感型两类，在此基础上建立了负荷最优控制的数学模型，但该模型不能保证频率在新的运行状态下回到额定值。为此，文献[19]改进了上述模型，在约束条件中考虑了发电和频率非敏感型负荷的平衡，保证了稳态时频率能够恢复到额定值。然而，上述考虑可控负荷的LFC模型主要聚焦在单一区域的集中式控制，集中式控制对控制信号施加最小约束而提供最佳性能，但是计算复杂度高，存在严重的计算负担，尤其对于具
有高度互联子系统的大规模互联电网不适用。多区域互联系统中的控制区域可能属于不同主体，全局信息难以获取，故需要设计分布式的LFC方法。此外，可控负荷资源通常广泛分布于整个电力系统中，设计分布式的LFC架构显然比集中式架构更加合理。
本文研究了考虑可控负荷调节能力的多区域互联电力系统分布式模型预测负荷频率控制问题，基于连续时域交替方向乘子法和分布式模型预测控制方法，提出一种考虑可控负荷主动参与的多区域互联电力系统分布式模型预测最优负荷频率控制模型。通过追求多区域互联系统运行成本和频率控制偏差最小，利用连续时域交替方向乘子法和分布式模型预测控制方法实现了多区域互联电力系统的最优负荷频率控制，快速消除系统频率波动。
1  含可控负荷的稳态经济调度模型
对于由 个节点构成的电力系统，定义⊆
为同步发电机节点集合。假设由于负荷变化引起的系统损耗变化呈线性状态，定义ρ为损耗对系统负荷的灵敏度，则含可控负荷的电力系统稳态ED模型可表示为
Ge2Ge
()
min[]
i i
i
i i
a P
b P
∈
+
∑
(1)
Ge De
<(1)
i i
i i
P
Pρ
∈∈
=+
∑∑
(2)
Ge G G
,,
i i i
P P P i
⎡⎤
∈∈
⎣⎦    (3)
De D D
,,
i i i
P P P i
⎡⎤
∈∈
⎣⎦ (4)
式中：Ge
i
P、De
i
P分别表示第i个节点的发电机输出
功率、负荷；G G
i i
P P
、与D D
,
i i
P P分别表示发电机输
出功率与负荷的上限与下限；
i
a、
i
b表示发电机的耗量成本系数。上角标e表示经济调度模型的解定义了电力系统在当前时段的稳态特征，包括最优的
付 阳，等  考虑可控负荷的多区域电力系统分布式模型预测负荷频率控制                - 103 -
发电机输出功率及节点负荷值。下文中，将考虑发电机与负荷在时间上发生变化，并讨论如何通过控制可控负荷使得电力系统重新达到稳态。
2  基于集中式模型预测控制的AGC 系统
模型
在集中式控制框架下，将多区域互联电力系统考虑成一个平衡区域，则系统动力学模型可定义为 G D s 2dΔ()
()(1)()Δ()d H t P t P t D t t ωρωω=-+-  (5)
G G G
G
D d ()()()Δ()d P t T T P t z t t t R ω=-+-    (6)
G d ()
()Δ()()d z t z t K t P t t
ω=--+        (7) 式中：()t ω∆为惯性速度中心与同步速度s ω的偏差；H 为系统惯性常数；D 为系统总负载阻尼；R D
为系统的下垂系数；G
T 为时间常数；K 为正控制增
益；G G ()()i i P t P t ∈=∑ 为系统总发电功率；
D D ()()i i P t P t ∈=∑ 为系统总负荷；()z t 为AGC 控制指令，即将系统频率和实际功率交换恢复到额定值所需的发电变化量。
为了定义模型预测控制器，将系统动力学方程式(5)—式(7)写成连续时间的线性时不变系统，如式(8)所示。
()()()x t t u t =+ Ax B          (8) 式中：=A D G G 1011111D M M R T T K
⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥
--⎣⎦；1(1)00ρ⎡⎤⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ；系统的状态G T ()[Δ(),()(),]t t P t z t ω=x ；控制输入
D ()()u P t t =；s
2H
M ω=。需要注意的是，基于稳态
ED 模型的解，e Ge Ge e T
Ge [,]0,i i P P z P ∈===∑ x 和
e De i i u P ∈=∑ 定义了式(8)的一个稳态，即e e 0u +=Ax B 。
对于AGC 的控制指令()z t ，
()z t 将随时间变化收敛到Ge i i P ∈∑ 。对于第i 台发电机组，其AGC 控制指令的分配额为
Gc ()()11122i i i i i i P t z t a a αα∈⎧=⎪⎪
=⎨⎪⎪⎩
∑            (9) 式中，Gc i P 表示AGC 控制指令的分配额；AGC 分配系数i α满足当Ge
()i
i z t P ∈=∑ 时，对于任意i ∈ ，
Gc Ge ()i i P t P =成立。
定义集中式模型预测控制器的目标函数为
[]2
G Ge 2Ge 2
((),())Δ()(())2(())
i i i i i
i
i
i D x t u t t P t P z t P
ωααα∈∈=+-+
-∑∑
(10)
重新定义系统的状态约束和输入约束集合为发电机功率和可控负荷约束，即
G G G G G ():()()(),i i i i i x t P t P t P t P P i ∈⎧⎫⎪⎪∀⎪⎪
∈=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎡⎤∈⎣⎦⎩⎭
∈=∑          (11)
D D
D D D ():()()(),i i i i i P P i u P t t t t P P ∈⎫⎧
⎪∀∈⎪⎪⎪∈=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎡⎤∈⎣⎦⎩
=⎭∑
(12)
因此，基于集中式模型预测控制的单一平衡区
域AGC 系统模型可定义为
0,  [0((),())d ()()()()()(0,],[0,],,)ˆT x u t T x
x t u t t t t u t t T x
t t u x =⎧⎪⎪∀∈⎨⎪∀∈∈∈⎩+⎪
=⎰    Ax B x      (13) 式中，ˆx
表示系统的初始状态。需要注意的是，如果模型(13)考虑了无限长的预测时间范围，即T =∞，则对应的模型预测控制器理论上将是全局最优且稳定的，具体证明见文献[20]。然而在实际应用中，无限长的预测时间会导致模型(13)在计算上不可行。因此，本文在算例分析部分将比较不同的预测时长对应的闭环性能，以此来揭示当预测时长越长时，对应模型预测控制器的闭环性能越好。
3  多区域电力系统分布式模型预测负荷频
率控制模型
假设多区域互联电力系统包含||M = 个区域，对于第m 个区域，m  表示与区域m 相连区域的集合，m ⊆  表示区域m 内所有发电机的集合，
m ⊆  表示区域m 内所有节点的集合。 3.1 多区域负荷频率控制模型
多区域互联电力系统的系统动力学模型相较于第2节的单一平衡区域模型增加了区域间联络线的
- 104 -                                        电力系统保护与控制
功率交换。则区域m 的系统动力学模型表示为 s G D Tie
G G G G
D 2dΔ()
d ()(1)()()Δ()d ()()()Δ()d m m m m m m m m m m m
m m m m H t t P t P t P t D t P t T T P t z t t t R ωωρωω=-+--=-⎧⎪⎪⎨+-⎪⎪⎪⎪⎩
(14)
式中：Δ()m t ω、()m z t 、m ρ、G ()m P t 、D
()m P t 、m D 、
G m T 、D
m R 与第2节类似，下角标m 代表区域m 的变量；Tie ()m P t 为区域m 与相连区域m m ∈ 的功率交换值。由此定义区域m 的状态约束和输入约束集合分别为
G G G G G
()(),(),,m m m i i i i m i P t P t P t P P i ∈⎧⎫⎪⎪==∈∈⎨⎡⎤⎣⎦
⎬⎪⎪⎩⎭
∑    (15)
{}D
D
D D D
()(),(),,m
m m i
i i i m i P t P
t P P t P i ∈⎡⎤==
∈∈⎣⎦∑
(16)
假设mm ' 表示区域m 中的节点与相邻区域m m '∈ 的联络线节点集合，区域m 与m '交换的实际功率偏差量为Δ()mm P t '，则
(dΔ()
Δ()Δ(d ))mm mm m m P t B t t t
ωω'''=-    (17) 式中，(,)cos()
mm k j k j mm k j kj V V B x θθ'
∈'-=∑ ，k V 与k θ分
别为节点k 处的电压幅值和相角，kj x 为线路(,)k j 的电抗；Δ()m t ω'表示相邻区域m '的惯性速度中心与同步速度s ω的偏差。AGC 控制指令()m z t 的状态方程表示为 Tie G
12d ()()Δ()()()d m m m m m m m z t z t K t K P t P t t
ω=---+(18) 式中：Tie
()Δ()m
m mm m P t P t ''∈=∑ ；1m K 、2m K 分别为
区域m 的两个正控制增益。定义区域m 的状态量为
{}{}G
,Δ(),(),(),()Δ()m m m m m m mm m m t P t z t x t P t ω''∈∈∈⎛⎫
⎪= ⎪
⎝⎭
。 据此，以系统的控制输入D ()()u t P t =为优化变量，定义多区域互联电力系统的负荷频率控制模型为
G
D
2G Ge 20,,De 2min (())(())2
(())d m m m m
m m
T
m
frequency函数计算频数m i i i P m i z P i mi m i
i t D t a P t P a z P t ωωα∆∈∈∈⎧⎪∆+-+⎨
⎪⎩⎫⎪-⎬⎪⎭
∑∑⎰
∑
(19)
<  ,[0,](,14,(1)8)m t T ∀∈∀∈      (20)
()ˆm m m x t x
∀∈=，          (21) []G D
()0(),m m m m t m t T P P t ∀∈∀∈∈∈，，，    (22)
,,[0,],(17)m m m t T '∀∈∈∀∈
(23)
其中：式(19)表示区域m 的目标函数，其物理意义
与稳态ED 模型中的二次成本函数类似，第一项为惯性速度中心与同步速度偏差的耗量，第二项为当前发电状态与稳态之间偏差的耗量；第三项为整体AGC 控制信号()z t 与稳态之间偏差的耗量；式(20)—式(22)分别表示每个区域的系统动力学模型、初始状态、区域的状态约束和输入约束；式(23)表示区域间的耦合约束。
3.2 基于连续时域交替方向乘子法的分布式求解
本节提出采用连续时域的交替方向乘子法(alternating direction method of multipliers, ADMM)[21]来分布式求解多区域负荷频率控制模型式(19)—式(23)。为实现分布式求解，首先将耦合约束(23)进行重构，定义辅助变量Δ()mm t ω'、Δ()m m t ω'以及一致性约束：
Δ()Δ()()
,,Δ()Δ()()m m m mm m mm m m mm t t t m m t t t ωωλωωμ''
'''=⎧⎪∈∈⎨
=⎪⎩'∣∣  (24) 式中，()mm t λ'、()mm t μ'表示拉格朗日乘子，即对偶
变量。因此，耦合约束(23)可以变成完全解耦的形式：
(dΔ()
Δ()Δ(d ))mm mm m mm P t B t t t
ωω'''=-    (25) 据此，各个区域的增广拉格朗日函数可表示为式(26)。
{}()2Ge G D 2220G Ge (),(),(),Δ(),(())()Δ()(),(),Δ(),Δ()2()(Δ()Δ())Δ()Δ()(2)m m m T i mi m i i m m m m m m
i i i m i mm mm mm m m m mm m m m m m m m mm P t z t P t t D J a P t P a t t t t t t t t t P t z t ωωλμωωρλωαωωωμ∈'
'''∈'''''∈'
∈⎛⎫ ⎪=- ⎪⎝
⎭
-+⎧⎪+-++⎨⎪⎩⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭-∑∑⎰∑    2()(Δ()Δ())Δ()Δ)d (2mm m m mm m m m t t t t t t ρ
ωωωω''∈'''⎫
⎛
⎫+
⎬
⎪⎝
⎭⎭
--∑
(26)
付 阳，等  考虑可控负荷的多区域电力系统分布式模型预测负荷频率控制                - 105 -
假设原问题式(19)—式(23)有解并且强对偶条件成立，则求解原问题可以通过求解其对偶问题实现：
({})
G D
G D
G ,,,D ,(),(),(),Δ(),(),(),Δ(),Δ(),[0,],(),(18),(),[0,],max min 14ˆ((),(),[0,],25)m m m m m m m m m m m m m m mm mm mm m m m m m
m m m
P m P m z P t z t P t t t t t t m t T m x t x m t T P t P t m t T J λωωωλμωω''∈''∈∆'''∆∀∈∀∈∀∈=∀∈∀∈∈∈∀⎧⎪⎪⎪⎪∈⎪∀⎨⎩
∈∑式式式
⎪⎪
⎪⎪
⎪ (27)
算法1给出了利用连续时域ADMM 求解问题
(27)的详细步骤。第一步基于当前的迭代{,()k
m m t λ'
(}),()m
k k mm m m m t t μω'''∈∆ ，
各区域并行求解各自子问题(28)。这一步是整个算法中耗时最多的一步，原因
是每个区域都要求解一个连续时间的最优控制问题。而在实际应用中，往往将其在时间上离散化，进而求解一个标准的凸二次规划问题。第二步每个
区域将问题(28)的解1
()k m t ω+∆传递给所有相邻区域
m m '∈ ，当接收到相邻区域的信息后，第三步求
解耦合问题(29)，更新耦合变量1
()k mm t ω+'∆。
基于该问题的解以及第一步问题(28)的解，第四步每个区域以并行方式通过式(30)、式(31)更新对偶变量
{,)()}(m m k k m m mm t t λμ''∈' 。第五步将更新后的对偶变量
发送给相邻区域。如果考虑有限的预测时长0T  ，则问题(27)在连续时域上是凸的，文献[21]证明了算法1具有收敛性保证。
算法1：连续时域ADMM 算法求解问题(27)。 初始化：
()
000
,{(),(),Δ()}0,0,m mm mm mm m m k t t t μωρλ
'
''∈∈'=＞  。
重复：
1) 各区域m ∈ 以并行方式独立求解子问题。
{}()
{}G,11D,111G D
G D (),(),(),Δ(),Δ()
(),(),(),Δ()(),arg min 14(18(),Δ(),Δ()s.t.[0,],(),,(25)()[0,],)(,ˆ)(m m k k k k k m m m m
mm m m m m m k k k m m mm mm mm m m m m m m m P t z t P t t t P t z t P t t t t t t t T x t x t T P t P J ωωωλμωω+++++'∈''''∈''
=⎛⎫
⎪ ⎪⎝
∀∈=∀∈∈⎭
)m
t ⎧⎪⎪⎪
⎪⎪⎨⎪
⎪⎪⎪⎪⎩∈
(28)
2) 基于子问题(28)的解，各区域m ∈ 将1Δ()k mm t ω+'发送给相邻区域m m '∈ 。
3) 求解耦合问题。
()()()()112
12
1
111Δ()arg min ()Δ()Δ()Δ()Δ()()2
Δ()Δ()Δ()Δ()2
()()Δ()Δ()
k k k mm m m m m m k k
m m m mm k k mm m m mm m m k k k k mm mm m mm t t t t t t t t t t t t t t t ωλωωρ
ωωμρ
ωωω
ωλμωωρ
++''+''++'
''
'+'+'''=-+
-+⋅-+
-=
+++
(29)
4)所有区域并行更新对偶变量1(){,k m m
t λ+'
1}()m
k m mm t μ+'∈'
111
()()(Δ()Δ())k k k k mm mm m m m t t t t λλρωω+++'''=+-  (30) 111()()(Δ()Δ())k k k k mm mm mm m m t t t t μμρωω+++''''=+-  (31)
5) 所有区域将对偶变量11
(),({})m m k k mm mm t t λμ++''∈' 发
送给相邻区域m m '∈ 。
6) 设置1k k =+，继续第一步。
4  算例分析
基于IEEE39节点系统，算例基础数据来自Matpower 7.1，网络分区如图1所示，参考文献[22]将系统分为3个区域。在一台具有8核处理器的Intel Core i7-9700K, 3.6 GHz, 16 GB RAM 的主机中利用在Matlab R2020a 中添加Casadi 3.4.0工具箱实现[23]，功率基准值取为100 MVA ，闭环控制器的采样时间
为0.1 s T ∆=，
采用分段常数控制输入，即()k u t u =，[,(1)]t k t k t ∈∆+∆。利用龙格库塔积分器将连续时间模型离散化，对所产生的离散时间模型采用内点法求解。首先通过求解ED 问题(1)来计算系统的稳
图1 三区域IEEE39节点拓扑图
Fig. 1 Topology of three-area IEEE39 bus

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