数字信号处理论文
题目关于《基于DFT的谱分析》的思考
专业通信2班
学  号12S005107
学生李声勇
日期2013年10月5日  　
哈尔滨工业大学

关于《基于DFT的谱分析》的思考
在科技论文《基于DFT的谱分析》中，作者针对有限长频谱泄露和加窗对信号的影响两个方面做了仿真与分析。首先对非整数周期样点时，正弦信号的DFT频谱图进行了仿真，提出问题，后再时域和频域对频谱泄露做了深入的探讨。在文章的第二部分，对窗函数的特性进行了分析和模拟，并对信号加窗的DFT进行了讨论。针对作者提出的问题，本文将尝试对作者的问题进行解答，进一步理解DFT的意义。
一、DFT频谱泄露分析
文章关于频谱泄露做了三类仿真：
（1）信号采样长度64点，采样率32kHz，正弦频率1kHz
（2）信号采样长度64点，采样率32kHz，正弦频率1.1kHz。
（3）信号采样长度60点，采样率32kHz，正弦频率1kHz。
仿真结果发现，当整数周期抽样时，信号频谱与连续时保持高度一致性。但非整数周期抽样时，频谱与原来的连续谱相差很大。
文中指出，当采样长度变化，导致采样周期为非整数时，会导致频谱泄露，但原文并未给出采样长度变化对频谱泄露严重程度的影响，本文首先从非完整周期，整数倍完整周期，非整数倍周期展开讨论。
1.采样点数带来的影响
（1）当采样点为N=26＜32点时：
（2）当采样点数为N=97点时
（3）当采样点数为N=173＞32*int点时：
通过改变采样长度的三次仿真我们可以得到如下的结论：
理论上，要想采样出一个完整的周期，采样点应该为32或者32的整数倍个点，当信号的采样不完整时，频谱的对称性丢失，信号失真。该信号与除了有频谱泄露之外，还发生了频谱变化，部分信息丢失。在峰值处，频谱幅度与连续谱的幅度相同。
当采样点数增加时，连续谱对应的频谱峰值在逐渐增大，这是由于计算中卷积定理的影响。与此同时，泄露频谱的分量幅值也在随之增加，且产生的噪声影响加剧，这说明增加采样点并不能消除频谱泄露的问题，同时还会带来对系统额外的要求，增大负担。
2. 截取周期带来的影响
我们通过调整信号频率，分别在距离整数个周期最近与最远的位置进行仿真，观察不同截取位置对频谱泄露带来的影响。分别对信号采样2.3, 2.5, 2.9个周期。
（1）采样2.3个周期（f0=1.15KHz）
（2）采样2.5个周期（f0=1.25KHz）
(3) 采样2.9个周期（f0=1.45KHz）
在抽样信号不变的情况下，通过调整信号频率来控制信号的截取位置，第一张图是截取2个整数周期，第二张图截取2.5个周期，最后一张截取2.9个周期，从上述三张图的频谱泄露情况可以看出，当截取位置在一个周期末端或最前端时，DFT时无频谱泄露。随着截取位置趋向于一个信号的中部时，频谱泄露越来越严重，主要表现在泄露频谱各分量的幅值显著增加，这将对信号造成严重的噪声干扰。例如上图中截取2.5周期时，截取位置位于信号中部，
频谱泄露最严重，几乎湮没了我们需要的频谱值。但随着信号截取位置逐渐偏后，截取位置趋向于整数周期时，信号频谱泄露情况逐渐改善。可以做出以下预测，当截取N个整数周期时，信号频谱不会泄露。
根据以上对采样点数和截取频率的分析。可以得出结论：对于频率位置的信号，通过控制采样点数和采样频率，使得在无法得到整数周期采样的情况下，尽可能使采样的周期数趋近于整数，这样即使不能做到整周期采样，也可将频谱泄露程度降到最小。
3．连续信号DFT过程的分析
在分析频谱泄露之前，我们先了解做连续信号DFT的整个过程。对于一个无限长的周期连续信号，先要通过抽样转换为无限长的周期离散信号，再对该信号截取一定长度，得到一个有限长序列。frequency函数计算频数
DTFT是指离散时间傅里叶变换，它用于离散非周期序列分析，根据连续傅立叶变换要求连续信号在时间上必须可积这一充分必要条件，那么对于离散时间傅立叶变换，用于它之上的离散序列也必须满足在时间轴上级数求和收敛的条件；由于信号是非周期序列，它必包含了
各种频率的信号，所以DTFT对离散非周期信号变换后的频谱为连续的，即有时域离散非周期对应频域连续周期的特点。DFT是指离散傅里叶DFT只是对一周期内的有限个离散频率的表示，所以它在频率上是离散的，就相当于DTFT变换成连续频谱后再对其采样，此时采样频率等于序列延拓后的周期N，即主值序列的个数。

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