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中学数学教学参考（中旬）
2021年第2期
作法2：如图14，作等边三角
形OAB，以点0为圆心、O P为半
径画弧交的延长线于点C，再
以点P为圆心、A C长为半径画
弧交©〇于点即为所
求。这里主要依据三角形全等的
性质。
作法3：如图15，与方法2类似，通过作AOPQ2△OBA，得Z〇QP=60°。这里主要依据三角形全等 的性质。
3.3课堂小结
师生活动：学生自行总结尺规作图的步骤和策 略，即运用逆向思维，先画出目标草图，分析图形满足 的条件，回归到基本作图，从而确定作图方法。
设计意图：让学生整体把握所学知识，培养学生 善于思考、归纳总结的能力。
4设计说明
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出“对 于尺规作图，学生不仅要知道作图的步骤，而且要知 道实施这些步骤的理由”。因此，对于尺规作图的复 习，不仅仅是掌握几种基本作图，更要学会通过几何 推理进行尺规作图，解决问题的过程需要学生有探究 问题的能力，体会数学知识可以从不同角度加以分 析，从不同层次加以理解，用不同方法加以解决，提升 学生分析问题和解决问题的能力。
本设计指向“问题解决”，选取基础但能一题多解 的例题，在教学中充分发挥学生的主观能动性，关注 基础知识的应用，启迪学生的发散性思维，让学生自 己参与解题过程，拟定解题方案，构建解题方法，用学 生自己的思维方式解决问题，教师适时总结归纳。尺规作图不仅是一种操作，更是对数学思维和数学探究 的一种知法明理的追溯。在师生活动环节的教学示 范或建议中，均是以学生的先行独立尝试开路，洞察 学情，以学定教。
总之，深度教学应给学生充分探索的机会和充足反思的时间，以思维活动为核心，应用数学知识解决
问题，发展学生分析问题、解决问题的能力。
参考文献：
[1]邢成云.尺规作图[J].中学数学教学参考（中旬），2019
(1/2)：87-91.
图形的对称、平移、
旋转与位似
张雪麟（浙江省绍兴市教育教学研究院）
文章编号：1002-2171(2021)2-0047-04
1教学内容及目标解读
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，数
学是研究数量关系和空间形式的科学。在初中数学
空间形式相关内容的学习过程中，应当注重发展学生
的空间观念、几何直观、推理能力和模型思想。图形
的对称、平移、旋转与位似是初中几何学习内容的四
大重要变换，是研究特殊几何图形性质和图形之间关
系的重要工具。从落实学生空间观念角度对标这一
内容，关键是培育学生根据几何图形变换过程想象出
变换前后图形形状、位置及相关点、线、角等元素的对
应变化；从落实学生几何直观角度对标这一内容，关
键是培育学生根据几何图形变换过程语言的描述画
出图形，实现从几何语言到图形语言的跨越；从落实
学生推理能力角度对标这一内容，关键是培育学生根
据几何图形变换过程推理探索思路，发现结论，证明
结论；从落实学生模型思想角度对标这一内容，关键
是培育学生根据几何图形变换过程体悟转化、分类、
数形结合等数学思想，并能利用图形变换的性质解决
数学问题。
基于几何变换内容定位与知识走向分析，复习应
重点关注“识”“画”“悟”“用”四个层级目标。
(1)“识”：通过具体实例认识四种变换，明确变换
过程的本质要素，通过比较四种变换的异同点，辨析
并欣赏自然界和现实生活中的变换图形或变换过程；
(2) “画”：能画简单平面图形变换之后的图形，明晰图形变换过程中点、线段和角等基本图形的对应，
以及由对应产生的数量关系和位置关系的变化规律；
(3) “悟”：体悟图形的运动变换思想，
掌握蕴含其
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中的转化、分类、建模、数形结合等数学思想方法，切 实促进逻辑推理、数学建模、直观想象等素养落地；
(4)“用”：利用图形变换的性质，综合所学其他几 何图形相关知识，设计并解决相关数学问题，达到对 数学知识的活学活用。
2典型例题设计
2.1初识——
操作感知变换
例1 (2020年永州中考题）某校开展了一次综
合实践活动，参加该活动的每位学生持有两张宽为
6 cm ，足够长的矩形纸条。探究两张纸条叠放在一 起，重叠部分的形状和面积。如图1所示，一张纸条 水平放置不动，另一张纸条与它成45°角，将该纸条从 右往左平移。
(1) 写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状；(2)
当重叠部分的形状为如图2所示的四边形
ABCD 时，求证：四边形ABCD 是菱形。
答案：（1)可能出现三角形、梯形、五边形、菱形； (2)证明略。
功能分析：平移是图形变换中最简单的一种，从 这里人手起点较低。利用矩形纸片动手操作是几何 图形变换探究的常用方法，符合“学中做、做中学”的 学习理念。本题旨在训练学生对平移变换过程的具 体操作，帮助学生掌握平移的基本性质，初步形成平 移过程中分类讨论的意识，并能综合运用特殊四边形 的性质和判定解决数学问题。
教学示范：实际教学时，必须结合问题情境，让学 生经历动手操作的过程，并分享操作成果，一方面感 知平移这一图形变换过程中需要关注的两个要素，另 一方面体会不同的平移距离会产生不同的公共部分，
自然渗透分类的思想方法。
2.2会画一一抽象还原变换
例  2
(2020年嘉兴中考题）如图3，有一张矩形
纸条 ABCD，AB  = 5 cm ,
2 cm ，点M ，N 分别在边A B ，Z )C D 上，C N =1 cm 。现将四边
形B C N M 沿M N 折叠，使点B, 4
C 分别落在点B '，C '上。当点 图3
W 恰好落在边C D 上时，线段的长为______cm ；在点M 从点A 运动到点B 的过程中，若边M B '与边
C D 交于点£，则点£相应运动的路径长为
解
：如图4，由折叠可知= 又CD //
，所以 ZEJVJW  = Z B M N ，所以
=ZiViWV 。又点B '恰好落在边C D 上，所
以
=
= 在 RtAC'NE  中，CB  = 2，所以 £iV =v ^，所以 BM =A 。
如图5，当点A 与点M 重合时，
如图6,
当MB '丄时，D £ = 2，此时点£的运动路径长为 如图7，当点£恰好和点B '重合时，此时DE =4 —斤，也就是说点E 运动的路径长为W — 2，所以点£
运动路径为W _2 + |=W —|■。因此本题答案为
了。
功能分析：折叠是轴对称变换的良好载体，也是 学生较为熟悉的一种图形变换。本题承接上一题矩 形纸片的学习资源与情境，给定了折叠方式或者折叠 需要达到的结果，但只呈现折叠过程，没有呈现最终 结果。学生必须通过对变换过程的理解抽象出变换 后图形的存在样态，并作出图形予以重现，对折叠知 识的理解和转化是求解此类问题的难点和关键。
教学示范：教学中教师要预估学生可能会遇到的 困难：（i )不能准确画出变换后的图形，因此教师要积 极引导学生通过动手操作，及时认清对应点的位置，
以点带面画出相应图形；（2)画出图形后不到解决 问题的突破口，因此教师要结合图形设置系列问题， 搭设学生思考的脚手架，帮助学生顺利到解决问题 的突破口 43)动点路径的探求存在问题，
教师要充分
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利用“几何画板”动态演示，让学生直观感知动点的运 动路径，使学生思维从无到有、从有到优。
2.3体悟——探究依托变换
例3 (2020年深圳中考题）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形 按如图8所示的位置摆放（点
E ，A ，D 在同一条直线上），发
现 M ^DG ，且B £丄DG 。
小组讨论后，提出下列三
个问题，请你帮助解答：
(1) 将正方形AEFG 绕点A 按逆时针方向旋转
(如图9)，还能得到BE =DG 吗？若能，请给出证明；
如不能，请说明理由。
(2) 把背景中的正方形分别改成菱形A £F G 和
菱形ABCD ，将菱形AEFG 绕点A 按顺时针方向旋
转(如图10)，试问当Z £AG 与Z B A D 的大小满足怎 样的关系时，背景中的结论B £ = DG 仍成立？请说 明理由。
A £ = 4, = 8，将矩形
AEFG 绕点A 按顺时针方
向旋转（如图11)，联结D £，BG 。小组发现：在旋转 过程中，DE2 + BG2的值是定值，请求出这个定值。
解：（1)能得到BE  = DG 。因为四边形AEFG 是 正方形，所以A £=AG ，Z £AG =90°。又因为四边形
ABCD 是正方形，所以= 所以= 90°。 所以A EABSA G A D (SAS )，所以 B £=DG 。
(2)当= 时，BE =DG 。理由：因为ZEAG  = Z B A D ，所以z e a b  = z g a d 。又因为 四边形A £F G 和
四边形A BC D 为菱形，所以A £ =
AG，AB  = AD ，所以
AAG D (SAS )，所以
B E =DG 。
(3)如图12，联结£G ，BD ，设
与
D G 分
别交于点因为四边形AEFG 和四边形ABCD  是矩形，所以ZEAG  = 90°，所以=
Z G A D = 90°+ Z G A B 。又因为A E
AB 2
AG
AD
3，
所以图12
AA£B  c /3 AAGD ，所以 Z E B A  = Z G D A  ,Z A I D  =
ZG IB ，所以 =ZBA D =90°，即B £1GD 。由勾股定理得BG2 + DE 2 = (GH 2 + B H 2) + (EH2 + D H 2) = (GH 2 +£H 2) + (BH2 + DH 2) = £G2+BD2，而由题意，得
£G2 =42 +62 =52，BD 2 =82 + 122 = 208，所以 BG2 十
D j
E 2 =52 + 208 = 260。
功能分析：图形旋转是图形变换中自由度较高的 一种变换，关注旋转过程中不变量的分析与探究是此
类问题的焦点。本题从静态图形出发，增加旋转变换 条件，逐步弱化条件，使图形一般化，引导学生进行系
列探究活动。既给出结论对问题条件的探究，也给出 条件对问题结论的探究，真正达到了思维训练上的双 向互通。
教学示范：本题的难点是探求第（3)问中Df：2 +
BG2是否是定值，教学过程中应引导学生提炼总结： 将一个几何图形绕着它的一个顶点作旋转相似变换， 一定会出现新的相似，即为“大手拉小手”模型；结论 的导向是寻直角三角形，相似带来角度的不变性， 由已知直角寻未知直角，结合对顶角，可以考虑“8” 字型模型。探究之余，让学生充分体悟旋转变换过程 中不变量的如影随形。2.4应用——实际回归变换
例4 (2020年
盐城中考题
）木
门
常常需要雕刻
美丽的图案，如图13。
⑴ （2)
图13
(1) 图13(1)为某矩形木门示意图，其中长为 200 c m ,A D 长为100 c m ，阴影部分是边长为30 cm  的正方形雕刻模具，刻刀的位置在模具的中心点i3 处，在雕刻时始终保持模具的一边紧贴木门的一边， 所刻图案如虚线所示，求图案的周长；
(2) 如图13(2)，对于（1)中的木门，当模具换成 边长为30 W  cm 的等边三角形时，刻刀的位置仍在 模具的中心点P 处，
雕刻时也始终保持模具的一边紧
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肀考涵
2021
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贴木门的一边，使模具进行滑动雕刻。但当模具的一 个顶点与木门的一个顶点重合时，需将模具绕着重合 点进行旋转雕刻，直到模具的另一边与木门的另一边 重合，再滑动模具进行雕刻，如此雕刻一周，请在图 13(2)中画出雕刻所得图案的草图，并求其周长。解：（1)如图14，过点P 作丄C D ，垂足为£。 因为点P 是边长为30 cm 正方形模具的中心，所以 P £=15 cm 。同理，
与 A B ,A 'D ’与 A D ，B’C'与
B C 之间的距离均为15 cm，所以A'B' = C'iy = 200 — 15-15 = 170 cm, B 'C ' =A 'D ' = 100- 15 - 15 = 70 cm，所以四边形A'B'C'D'周长= (170 + 70) X2 =
480 cm 〇
(2)如图15，联结P £：，P F ，P G ，过P 作P Q 丄
C D ，垂足为Q 。因为点P 是边长为30 cm 等边三角
形模具的中心，所以P £ = PG  = _P F ，Z P G F  = 30°。因为PQ 丄GF ，所以G (3=FQ =15 W cm ，所以PQ  =GQ  • tan  30° = 15 cm , PG  = —
-5 = 30 cm 。当
cos  30
A £F G 向上平移至点G 与点D 重合时，由题意可得:△E 'F 'G '绕点D 顺时针旋转30°，使得E f 与A D 边重合，所以DP '绕点■〇顺时针旋转30°至D ，'，所以
1^ ^.30 • t c  • 30 「P  P  的长为---^ = 5t t  cm 。
同理可得其余三个角均为弧长是5；r  cm 的圆弧， 所以所求雕刻图案的周长C =(200 — 30 W +l 〇〇 —
3〇V ^)X 2 + 5jtX 4=(600 — 12〇v ^+2〇K )cm 。
功能分析：数学来源于生活，又服务于生活。培
养学生的数学应用意识、恰当并自觉运用数学知识解 决实际问题是数学教学的终极目标。本题以矩形门 框中雕线为背景，自然渗透结合多种图形变换，需要 学生整体把控变换过程，明晰变换过程中的细节要 素，综合圆中弧长等知识加以解决。
教学示范：第（1)问是单一图形变换，变换过程相
对简单，学生通过对平移过程的描述直观想象即可解
决，教师不需要过多参与；第（2)问是两种图形变换的 叠加，特别是四个角落的旋转变换，教师要真实还原
旋转情境，让学生现实感知整个旋转过程，并引导他
typec转dp们及时归纳总结解题经验与方法。
3设计说明
中考基础知识复习课形在穿针引线，意在系统整
合，通过复习把分散在各章各册中的相关内容进行整 理、归类、比较、运用。同时，知识点的复习必须以创 设数学问题情境为载体，以分析问题路径为线索，以 达成问题解决为推手，从情境化、整体化、可视化角度 设计教学环节。情境应该选择学生熟知的或者易于 操作的教学资源，如本课设计使用的矩形纸片，课堂 中学生的操作过程完全有条件进行。课堂教学情境 与资源的利用尽量最大化，这就要求教师加大对问题 的改编力度，设计问题串，变式推进复习，整体把握复 习要点，如本课四道例题均以
矩形纸片为背景，或平 移，或翻折，或旋转，或相似，既考查学生分析综合问 题的能力，又培育学生的数学素养。教学中要充分发 挥学生的自主意识和参与意识，多维调动学生的表达 能力、动手能力、思考能力，真正实现生本课堂，如本 课设计以学生操作贯穿始终，期望能够在操作中获取 方法，点燃思维，形成观点，并学会分享。
〔统计与概率^
杨茜（西安交通大学附属中学航天学校)
文章编号：1002-2171 (2021)2-0050-04
1课标要求与命题趋势
1.1课标要求
统计与概率是《义务教育数学课程标准（2011年 版）》（以下简称《课标（2011年版）》)课程内容模块之 一，其主要内容有：收集、整理和描述数据，包括简单 抽样、记录调查数据、描绘统计图表等；处理数据，包 括计算平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差等； 从数据中提取信息并进行简单的判断；简单随机事件 及其发生的概率，通过频率估计事件的概率。这部分 内容与现实生活联系密切，要求学生建立数据分析的 观念，
感受概率问题所涉及的随机现象都基于简单事

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