Matlab 中fft 函数的⽤法及关键问题详解
FFT 是Fast Fourier Transform(快速傅⾥叶变换)的简称，这种算法可以减少计算DFT （离散傅⾥叶变换，关于此更详细的说明见后⽂）的时间，⼤⼤提⾼了运算效率，并曾经⼀度被认为是信号分析技术划时代的进步，其重要性由此可见⼀斑。闲话少叙，⾔归正传。
基于FFT 在信号分析中的重要性，其必然会成为MATLAB 的座上宾。FFT 算法在MATLAB 中实现的函数是Y=fft(x,n)。刚接触频谱分析⽤到FFT 时，⼏乎都会对MATLAB 的fft 函数产⽣⼀些疑惑，本⽂本着从问题出发的原则，主要着⼿对⼀下⼏个问题进⾏解释：（⼀）fft 函数计算得到的Y 是输⼊信号x 的频谱吗？如果不是还要经过怎样的变换？为什么要除以N 。
（⼆）如何计算Y 对应的频率f ，并绘制（f,Y ）频谱图？
（三）如何根据离散信号的长度确定n 的数值？
下⾯以MATLAB 帮助⽂档中的例⼦来⼀⼀看这⼏个问题。
运⾏结果：1、关于问题（⼀）
程序（1）处为何要除以信号的采样长度L ？
由Fourier
变换对[plain]
1. Fs = 1000; % Sampling frequency
2. T = 1/Fs; % Sample time
3. L = 1000; % Length of signal
4. t = (0:L-1)*T; % Time vector
5. % Sum of a 50 Hz sinusoid and a 120 Hz sinusoid
6. x = 0.7*sin(2*pi*50*t) + sin(2*pi*120*t);
7. y = x + 2*randn(size(t)); % Sinusoids plus noise
8. subplot(2,1,1)
9. plot(Fs*t(1:50),x(1:50)) 10. title('Sinusoids Signal') 11. xlabel('time (milliseconds)') 12. subplot(2,1,2) 13. plot(Fs*t(1:50),y(1:50)) 14. title('Signal Corrupted with Zero-Mean Random Noise') 15. xlabel('time (milliseconds)') 16. 17. NFFT = 2^nextpow2(L); % Next power of 2 from length of y 18. Y = fft(y,NFFT)/L; % (1) 19. f = Fs/2*linspace(0,1,NFFT/2+1); 20. % Plot single-sided amplitude spectrum. 21. figure 22. plot(f,2*abs(Y(1:NFFT/2+1))) % (2) 23. title('Single-Sided Amplitude Spectrum of y(t)') 24. xlabel('Frequency (Hz)') 25.
ylabel('|Y(f)|')
可知，fft 函数直接计算得到的X （k ）并不是频谱幅值。
在x(j)的Fourier 级数（3
）中，谐波分量
对应的幅值为X(k)/N ，因此必须对fft 得到的结果除以离散信号的长度N 才能得到频谱幅值。
2、关于问题（三）
程序（1）处，fft 函数的第⼆个参数NFFT 为何取值
其含义是取不⼩于L 的最⼩的2的幂。之所以这样取值是因为FFT 算法要求信号的长度为2的幂，当NF
FT ⼤于信号长度时，fft 函数以零补齐。由（2）可知幅值谱只取了前半部分，并且还要乘以倍数2。也就是说频谱幅值是
这是因为信号的频谱是前后对称的，⽽且⼀般负频率没有物理意义。也就是说绝对值相等的频率，其对应的频率幅值是相等的，所以把正频率对应的频率幅值的两倍作为频谱幅值。
3、关于问题（⼆）
用subplot函数由离散傅⾥叶变换（DFT ）的推导过程可知，如果信号的时间长度是T0，则⽤DFT 进⾏频谱分析的频率分辨率是1/T0。由于fft 函数取信号的长度是NFFT ，采样频率是Fs ，由此可知fft 的频率分辨率是Fs/NFFT 。因此与频谱幅值
相对应的频率值是或者
[plain]
1. NFFT = 2^nextpow2(L);
[plain]
1. 2*abs(Y(1:NFFT/2+1))
[plain]
1. 2*abs(Y(1:NFFT/2+1))
[plain]
1. f=1/(NFFT*T)*(0:NFFT/2);
[plain] 1. f = Fs/2*linspace(0,1,NFFT/2+1);
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