信号与系统实验报告
一、实验目的
(1) 理解周期信号的傅里叶分解，掌握傅里叶系数的计算方法；(2)深刻理解和掌握非周期信号的傅里叶变换及其计算方法；(3) 熟悉傅里叶变换的性质，并能应用其性质实现信号的幅度调制；
(4) 理解连续时间系统的频域分析原理和方法，掌握连续系统的频率响应求解方
法，并画出相应的幅频、相频响应曲线。
二、实验原理、原理图及电路图
(1) 周期信号的傅里叶分解
设有连续时间周期信号
()f t ，它的周期为T ，角频率
22f
T
，且满足
狄里赫利条件，则该周期信号可以展开成傅里叶级数，即可表示为一系列不同频
率的正弦或复指数信号之和。傅里叶级数有三角形式和指数形式两种。
1）三角形式的傅里叶级数：
0121201
1
()
cos()
cos(2)
sin()
sin(2)
2cos()
sin()
2
n n n n a f t a t a t b t b t a a n t b n t 式中系数n a ，n b 称为傅里叶系数，可由下式求得：222
2
22()cos(),
()sin()T T T T n
n
a f t n t dt
b f t n t dt
T
T
2）指数形式的傅里叶级数：
()
jn t
n n
f t F e
式中系数n F 称为傅里叶复系数，可由下式求得：22
1()T jn t
T n
F f t e
dt
T
周期信号的傅里叶分解用Matlab进行计算时，本质上是对信号进行数值积分运算。Matlab中进行数值积分运算的函数有quad函数和int函数。其中int函数主要用于符号运算，而quad函数（包括quad8，quadl）可以直接对信号进行积分运算。因此利用Matlab进行周期信号的傅里叶分解可以直接对信号进行运算，也可以采用符号运算方法。quadl函数(quad系)的调用形式为：y＝quadl(‘func’,a,b)或y＝quadl(@myfun,a,b)。其中func是一个字符串，表示被积函数的.m文件名（函数名）；a、b分别表示定积分的下限和上限。第二种调用方
式中”@”符号表示取函数的句柄，myfun表示所有限定义的函数的文件名。
(2)周期信号的频谱
周期信号经过傅里叶分解可表示为一系列正弦或复指数信号之和。为了直观地表示出信号所含各分量的振幅，以频率（或角频率）为横坐标，以各谐波的振
幅或虚指数函数的幅度为纵坐标，可画出幅度－频率关系图，称为幅度频谱或幅度谱。类似地，可画出各谐波初相角与频率的关系图，称为相位频谱或相位谱。
在计算出信号的傅里叶分解系数后，就可以直接求出周期信号的频谱并画出其频谱图。
(3)非周期信号的傅里叶变换和性质
非周期信号的傅里叶变换定义为：
()()j t
F j f t e d
1
()()
2j t
f t F j e d
()
F j称为频谱密度函数，一般需要用幅度谱和相位谱两个图形才能将它完
全表示出来。
傅里叶变换具有很多性质，如线性、奇偶性、对称性、尺度变换、时移特性、频移特性、卷积定理、时域微分和积分、频域微分和积分、能量谱和功率谱等。
其中频移特性在各类电子系统中应用广泛，如调幅、同步解调等都是在频谱搬移的基础上实现的。实现频谱搬移的原理如下图所示：
乘法器
f(t)y(t)
cos(ω0t)
它是将信号()f t （常称为调制信号）乘以所谓载频信号
cos(
)t 或0
sin(
)t ，
得到高频已调信号()y t 。显然，若信号()f t 的频谱为()F j ，则根据傅里叶变换的频移性质，高频已调信号的频谱函数为：
1
1
()()cos()
()
()
22y t f t t F j F j 0
1
1
()
()sin(
)
()
()
2
2
y t f t t jF j jF j 可见，当用某低频信号()f t 去调制角频率为0
的余弦（或正弦）信号时，
已调信号的频谱是包络线
()f t 的频谱()F j 一分为二，分别向左和向右搬移0
，
在搬移中幅度谱的形式并未改变。Matlab 中提供了专门的函数modulate()用于实
现信号的调制，其调用形式为y ＝modulate(x,Fc,Fs,’method ’)。其中x 为被调信号，Fc 为载波频率，Fs 为信号x 的采样频率，method 为所采用的调制方式。实现信号的调制也可以利用Matlab 直接求解被调信号的傅里叶变换。
Matlab 中symbolic 工具箱提供了直接求解信号的傅里叶变换和逆变换的函数fourier()和ifourier()。这两个函数采用符号运算方法，在调用之前要用syms
命令对所用到的变量进行说明，返回的同样是符号表达式。除此之外，要实现傅
里叶变换的数值计算，可以直接利用傅里叶变换的定义，调用前述的quad 函数
对信号进行数值积分运算，得到相应的变换结果；也可以对原始信号离散化采样，
进行数值计算求解傅里叶变换。数值计算的原理如下：
对于一大类信号，当足够小时，上式的近似情况可以满足实际需要。若信
号是时限的，则n 的取值是有限的，设为N ，则上式变为：
1
()
(),0k
N j
n
n F k f n e
k N
式中频率也进行了取样，
2
k
k N
。采用Matlab 实现时，要注意正确生成
()f t 的N 个样本()f n 的向量f 及向量k j
n
e
，两向量的内积结果即完成傅里叶
变换的数值计算。此外，时间取样间隔
需要满足取样定理（Nyquist 条件）：
12f
。如果某个信号不是严格的带限信号，则可根据实际计算的精度要求来
确定一个适当的频率为信号的带宽。
(4) 连续系统的频域分析和频率响应
设线性时不变（LTI ）系统的冲击响应为()h t ，该系统的输入（激励）信号为()f t ，则此系统的零状态输出（响应）
()y t 可以写成卷积的形式：()
()
()y t h t f t 。设
()f t ，()h t 和()y t 的傅里叶变换分别为()F j ，()H j 和()Y j ，则它们之间存
在关系：()()()Y j F j H j ，反映了系统的输入和输出在频域上的关系。这
种利用频域函数分析系统问题的方法常称为系统的频域分析法。
函数()H j 反映了系统的频域特性，称为系统的频率响应函数（有时也称为系统函数）可定义为系统响应（零状态响应）的傅里叶变换与激励的傅里叶变换之比，即：
()()
()
Y j H j F j 它是频率（角频率）的复函数，可写为：
()
()
()j H j H j e
，其中()()
()
Y j H j F j ，()
()
()
y
f
可见()H j 是角频率为的输出与输入信号幅度之比，称为幅频特性（或幅频
响应）；()是输出与输入信号的相位差，称为相频特性（或相频响应）
。
Matlab 工具箱中提供的freqs 函数可直接计算系统的频率响应，其调用形式为：H ＝freqs(b,a,w)。其中b 为系统频率响应函数有理多项式中分子多项式的系数向量，或者说系统微分方程式右边激励的系数；
a 为分母多项式的系数向量，
或微分方程左式的系数；w 为需计算的系统频率响应的频率抽样点向量。
三、实验步骤及内容
(1) 周期性三角波如下图所示，计算其傅里叶级数系数，演示其有限项级数逼近并绘图。(教材p193，习题4.8第a 小题)。
1
t
f(t)1
2-1
用subplot函数-23(2) 计算如下图所示的信号（cos()2
t ）的傅里叶变换，并验证尺度变换和时移
变换性质。(教材p195，习题4.13第c 小题)
-2
-1.5-1-0.500.51  1.52
00.10.20.30.40.50.60.70.80.91(3) 设信号()sin(100)f t t ，载波是频率为400Hz 的余弦信号，用Matlab 实
现调幅信号，并观察信号和调幅信号的频谱。
(4) 求下列微分方程所描述系统的频率响应，并画出幅频、相频响应曲线：(教
材p199，习题4.30第1小题)
()
3()
2()
()
y t y t y t f t 四、实验结果记录与分析
1.周期性三角波如下图所示，计算其傅里叶级数系数，演示其有限项级数逼
近并绘图。(教材p193，习题4.8第a 小题)。
1
t
f(t)1
2-1
-23试验程序：
t=0:0.0001:1; T=2; w=2*pi/T; a0=1/2;
N=10;an=zeros(1,N);bn=zeros(1,N); for k=1:N

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