高中学生掌握各进制数转换之攻略
作者：贾 宇
来源：《新课程研究·基础教育》2009年第02期
作者：贾 宇
来源：《新课程研究·基础教育》2009年第02期
[摘 要]进制数之间的转换是新课标中信息技术学科和数学学科相关知识点的延伸。掌握四种进制数之间的转换过程和方法有利于培养高中学生的创新性思维。
[关键词]新课标 进制转换 信息技术 数学 创新性思维
随着高中新课标的逐步展开和实施，与信息技术有关联的试题不断出现在各学科的教学过程中。高中数学已经把算法语言列入单独的章节，需引起足够重视。
信息技术基础知识中的数制（进制）问题（主要是指二、十进制整数部分的转换）是高中学生必须掌握的概念。日常生活中，人们习惯于使用十进制数记数法，而在计算机内部采用的是二进制数表示方法，在表示符号、地址等数据时，为了简化书写又多采用八进制数或十六进制数表示法。因此，有必要了解和掌握各种进制数之间的转换规则及方法。
我们现在说的各进制数主要指二进制数、八进制数、十进制数和十六进制数。
关于八进制数和十六进制数的运算，虽说不是什么新概念，但对于高中学生来说是没有接触过的新知识，他们只能是根据十进制数的运算法则进行横向类比来完成，这类题的编制是以16进制转换器计算器“双基”为立足点进行横向类比、纵向加深或陈题开放，背景新颖，运算量大。加之对二进制运算法没有抽出一定时间去专门掌握，出现要求各进制数相互转换的试题时，多数高中学生显得束手无策。
各进制数之间的转换方法在计算机基础课程中，一般都提到以上这四种数制。它们之间的相互转换通常有以下几种形式。转换目标为十进制数，即将二进制数、八进制数和十六进制数转换为十进制数；转换目标为二进制数，即将十进制数、八进制数和十六进制数转换为二进制数；转换目标为八进制数，即将二进制数、十进制数和十六进制数转换为八进制数；转换目标为十六进制数，即将二进制数、十进制数和八进制数转换为十六进制数。
我们现在论述的是掌握各进制数整数部分的转换，小数部分的转换方法另辟文章讲述，供有余力的同学进一步学习完成。
一、进制概念
1.十进制。十进制使用十个数字（0、1、2、3、4、5、6、7、8、9）记数，基数为10，逢十进一。历史上第一台电子数字计算机ENIAC是一台十进制机器，其数字以十进制表示，并以十进制形式运算。设计十进制机器比设计二进制机器复杂得多。而自然界具有两种稳定状态的组件普遍存在，如开关的开和关、电路的通和断、电压的高和低等，非常适合表示计算机中的数。它们设计过程简单，可靠性高。现在使用的计算机即为二进制计算机。
2.二进制。 二进制以2为基数，只用0和1两个数字表示数，逢2进一。二进制同十进制数遵循一样的运算规则，但显得比十进制更简单。例如，加法：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10；减法：0-0=0，1-1=0，1-0=1，0-1=1；乘法：0×0=0，0×1=0，1×0=0，1×1=1；除法：0/1=0，1/1=1，除数不能为0。我们现只要求掌握二进制加法的运算规则。
3.八进制。八进制，就是以8为基数，基数值可以取0、1、2、3、4、5、6、7，逢八进一。八进制与十进制运算规则一样。那么为什么要用八进制呢？难道要设计出八进制的计算
机吗？不是的。实际上，八进制与十六进制的引用，最主要的一点是为了书写和表示方便，因为二进制表示位数比较长。
4.十六进制。十六进制应用也是非常广泛的一种计数制。在使用者看来，十六进制是二进制数的一种更加紧凑的一种表示方法。基数为：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F，逢十六进一。数值为10到15的数分别用A、B、C、D、E、F表示。现在，我们通过两部分的学习过程掌握各进制数的相互转换。
首先，通过2005年全国高考数学试题出现在第一题第12小题的单选题，利用同学们日常使用的计算机（操作系统如Windows98、WindowsXP和Windows2000等）中自带的应用程序“计算器”完成此题的运算（一般是不会让自带计算机进入高考考场的）。
原试题是：计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：
例如，用十六进制表示：E+D=1B，则A×B= ？（A）6E（B）72（C）5F（D）B0
计算机操作开始：点击“开始” →“程序” →“附件” →“计算器”，系统默认出现的是“计算器”的“标准型”显示方式，继续点击“计算器”的“查看”菜单，“查看” → “科学型”，此时，二、八和十六进制在“计算器”中即可象日常的十进制一样进行处理了。
选择十六进制选项，计算E+D，在显示框中出现了1B的答案（验证了陈题结果）；继续计算A×B（操作过程为A*B），则显示框中出现了6E的结果，即（A）是试题最终选择。
通过计算机系统自带的“计算器”操作，巩固练习(括号外面的角标表示进制数)：
① （ E ）16=（ ？）10=（ ？）8=（ ？）2
（ E ）16=（14）10=（16）8=（1110）2
② （1110）2=（ ？）8=（ ？）10=（ ？）16
（1110）2=（16）8=（14）10=（E）16
③（9A3E）16=（ ？ ）8=（ ？ ）10=（ ？ ）2
（9A3E）16=（115076）8=（39486）10=（1001101000111110）2
④（1001101000111110）2=（ ？ ）10=（ ？ ）8=（ ？ ）16
（1001101000111110）2=（39486）10=（115076）8=（9A3E）16
⑤（E）16+（1101）2=（ ？）2=（ ？）8=（ ？）10=（ ？）16
（E）16+（1101）2=（11011）2=（33）8=（27）10=（1B）16
⑥（12）8×（B）16=（ ？）2=（ ？）8=（ ？）10=（ ？）16
（12）8×（B）16=（1101110）2=（156）8=（110）10=（6E）16
相信通过上述练习，我们已经掌握了应用计算机系统“计算器”对各进制数的转换操作。学生通过“计算器”各进制数的转换及对应操作，很快就能掌握其规律过程。我们再从概念和计算方法上理解、掌握其转换过程。下面的表格反映各进制数之间的关系：
部分二进制数及与之等值的八进制、十进制和十六进制数对照表：
表格中二进制最左面的0是可以省略的。
切记，表示各进制数的基数分别是：二进制数（0、1）；八进制数（0、1、2、3、4、5、6、7）；十进制数（0、1、2、3、4、5、6、7、8、9）；十六进制数（0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F）。
二、各进制数相互转换过程
下面我们要进行各进制数相互转换过程的讲解，计算结果依然可借助“计算器”去检验。
1.二进制数?圳 十进制数，八进制数?圳十进制数，十六进制数?圳十进制数；
（1）二进制数→十进制数。
[例1]（101）2=（5）10
（101）2=1×22+0×21+1×20=（5）10
[例2]（1001101011）2=（619）10
（1001101011）2=1×29+0×28+0×27+1×26+1×25+0×24+1×23+0×22+1×21+1×20=（619）10
（2）八进制数→十进制数。
[例3]（12）8=（10）10
（12）8=1×81+2×80=（10）10
[例4]（6241）8=（3233）10
（6241）8=6×83+2×82+4×81+1×80=（3233）10
(3)十六进制数→十进制数。
[例5]（19）16=（25）10
（19）16=1×161+9×160=（25）10
[例6]（C6A）16=（3178）10
（C6A）16=12×162+6×161+10×160=（3178）10
例6中，十六进制中的C等值于十进制数的12，十六进制中的A等值于十进制数的10。在以上对照表已列出。
（4）十进制数→二进制数。
[例7] （11）10=（1011）2
[例8] （619）10=（1001101011）2
（5）十进制数→八进制数。
[例9] （13）10=（15）8
[例10] （1546）10=（3012）8
（6）十进制数→十六进制数。
[例11] （42）10=（2A）16
[例12] （43976）10=（ABC8）16
例11、例12中，十进制数中的余数10、11、12分别等值于十六进制数的A、B、C。在以上对照表已列出。
由上述例题可以掌握，二进制数?邛十进制数、八进制数?邛十进制数、十六进制数?邛
十进制数是“将各进制数按权展开后求和”即可；十进制数?邛二进制数、十进制数?邛八进制数、十进制数?邛十六进制数是“除转换目标进制数取余法”，即分别为“除2取余法”、“除8取余法”、“除16取余法”。注意“最高位”的书写位置。
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