LCD画线方法及C语言实现
数学上的直线是没有宽度、由无数个点构成的集合，显然,光栅显示器只能近地似显示直线。当我们对直线进行光栅化时，需要在显示器有限个象素中，确定最佳逼近该直线的一组象素,并且按扫描线顺序，对这些象素进行写操作，这个过程称为用显示器绘制直线或直线的扫描转换。   
由于在一个图形中，可能包含成千上万条直线，所以要求绘制算法应尽可能地快。本节我们介绍一个象素宽直线绘制的三个常用算法:
数值微分法(DDA）、中点画线法和Bresenham算法。 
（1）数值微分(DDA)法   
设过端点P0(x0 ,y0)、P1（x1 ,y1)的直线段为L（P0 ，P1）,则直线段L的斜率为k=(y1-y0）/（x1-x0)。要在显示器显示L，必须确定最佳逼近L的像素集合.我们从L的起点P0的横坐标x0向 L的终点P1的横坐标x1步进，取步长=1（个象素)，用L的直线方程y=kx+b计算相应的y坐标，并取象素点（x,round（y）)作为当前点的坐标。   
因为： yi+1 =  kxi+1+b  =  kxi+b+kDx  =  yi+kDx   
所以，当Dx =1; yi+kDx = yi+k.
也就是说，当x每递增1，y递增k（即直线斜率).
根据这个原理,我们可以写出DDA画线算法程序. DDA画线算法程序:
void DDALine(int x0,int y0，int x1,int y1,int color）
｛ 
int x； 
float dx， dy， y， k； 
dx = x1-x0；
dy=y1—y0; 
k=dy/dx，；
y=y0； 
for （x=x0；x〈 x1；x++）
{     
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drawpixel （x， int（y+0.5）， color)；     
y=y+k； 
}
｝
注意：我们这里用整型变量color表示象素的颜和灰度。
举例:用DDA方法扫描转换连接两点P0（0，0）和P1(5，2）的直线段.
x
int（y+0.5)
y+0。5
0
0
0
1
0
0.4+0.5  （0.9）
2
1
0.8+0。5  （1.3）
3
1
1.2+0.5  (1。7）
4
2
1.6+0。5  (2。1）
图2.1。1直线段的扫描转换   
注意:上述分析的算法仅适用于|k｜ ≤1的情形.在这种情况下，x每增加1,y最多增加1。当 |k｜ 〉 1时，必须把x，y地位互换，y每增加1，x相应增加1/k。在这个算法中，y与k必须用浮点数表示，而且每一步都要对y进行四舍五入后取整,这使得它不 利于硬件实现。
（2）中点画线法   
假定直线斜率k在0～1之间，当前象素点为（xp，yp）,则下一个象素点有两种可选择点P1（xp+1,yp）或 P2（xp+1，yp+1）。若P1与P2的中点(xp+1，yp+0。5）称为M,Q为理想直线与x=xp+1垂线的交点。当M在Q的下方时,则取P2 应为下一个象素点；当M在Q的上方时，则取P1为下一个象素点。这就是中点画线法的基本原理。
图2.1.2 中点画线法每步迭代涉及的象素和中点示意图
下面讨论中点画线法的实现。过点（x0,y0）、（x1， y1)的直线段L的方程式为F(x, y）=ax+by+c=0，其中，a=y0-y1, b=x1—x0， c=x0y1-x1y0，欲判断中点M在Q点的上方还是下方,只要把M代入F（x，y），并判断它的符号即可.
为此，我们构造判别式:    d=F(M）=F(xp+1, yp+0。5）=a（xp+1)+b（yp+0。5)+c   
所以：   
当d<0时，M在L(Q点）下方，取P2为下一个象素；   
当d>0时，M在L(Q点)上方，取P1为下一个象素；   
当d=0时，选P1或P2均可，约定取P1为下一个象素;   
注意到d是xp, yp的线性函数，可采用增量计算，提高运算效率：   
若当前象素处于d>=0情况，则取正右方象素P1（xp+1， yp），要判下一个象素位置，应计算 d1=F（xp+2, yp+0.5）=a(xp+2)+b（yp+0.5)=d+a，增量为a。   
若d<0时，则取右上方象素P2(xp+1, yp+1).要判断再下一象素,则要计算d2= F（xp+2, yp+1.5）=a(xp+2）+b(yp+1。5)+c=d+a+b ，增量为a＋b。画线从(x0, y0）开始，d的初值 d0=F（x0+1, y0+0.5)=F(x0， y0）+a+0.5b，因  F（x0, y0)=0,所以d0=a+0。5b.   
由于我们使用的只是d的符号，而且d的增量都是整数，只是初始值包含小数。因此,我们可以用2d代替d来摆脱小数,写出仅包含整数运算的算法程序。 中点画线算法程序:
void Midpoint Line (int x0，int y0，int x1, int y1,int color）
{ 
int a， b， d1, d2, d， x, y；
a=y0—y1；
b=x1—x0；
d=2＊a+b;   
d1=2＊a；d2=2* （a+b）；   
x=x0；y=y0；   
drawpixel（x, y， color）;   
while （x〈x1)
｛   
if （d〈0） 
{
x++；
y++；
d+=d2;
｝       
else     
｛x++； d+=d1;}       
drawpixel （x， y， color)；   
} /＊ while ＊/
} /* mid PointLine */ 
举例：用中点画线方法扫描转换连接两点P0（0，0)和P1（5，2）的直线段.
a=y0-y1=-2;
b=x1—x0=5；
d0=2＊a+b=1；
d1=2＊a=-4;
d2=2＊（a+b）=6
x
y
d
0
0
1
1
0
-3
2
1
3
3
1
-1
4
2
5
5
2
15
图2.1.3 中点画线法
（3)Bresenham算法   
Bresenham算法是计算机图形学领域使用最广泛的直线扫描转换算法。仍然假定直线斜率在0～1之间，该方法类似于中点法，由一个误差项符号决定下一个象素点。   
算法原理如下：过各行各列象素中心构造一组虚拟网格线。按直线从起点到终点的顺序计算直线与各垂直网格线的交点，然后确定该列象素中与此交点最近的象素.该算法的巧妙之处在于采用增量计算，使得对于每一列,只要检查一个误差项的符号，就可以确定该列的所求象素.
图2.1。4 Bresenham算法
如图2.1.4所示,设直线方程为yi+1=yi+k(xi+1—xi)+k.假设列坐标象素已经确定为xi，其行坐标
为yi.那么下一个象素的列坐标为 xi＋1，而行坐标要么为yi,要么递增1为yi＋1。是否增1取决于误差项d的值。误差项d的初值d0＝0，x坐标每增加1，d的值相应递增直线的斜率 值k,即d＝d＋k。一旦  d≥1，就把它减去1，这样保证d在0、1之间。当d≥0.5时，直线与垂线x=xi＋1交点最接近于当前象素（xi，yi)的右上方象素 （xi＋1，yi＋1）；而当d<0。5时，更接近于右方象素（xi＋1，yi）。为方便计算，令e＝d－0.5，e的初值为－0。5，增量为k。 当e≥0时,取当前象素(xi,yi）的右上方象素（xi＋1，yi＋1）；而当e〈0时，取(xi，yi）右方象素（xi＋1，yi）。 图2。1.4 Bresenham算法所用误差项的几何含义 Bresenham画线算法程序：
void Bresenhamline （int x0，int y0，int x1， int y1,int color）
{   
int x， y， dx, dy；   
float k, e；   
dx = x1—x0；
dy = y1— y0；
k=dy/dx；   

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