第10关 锐角三角函数（讲义部分）
知识点1  锐角三角函数
1.锐角三角函数
如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：
题型1 锐角三角函数
【例1】在ABC ∆中，90C ∠=︒，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为a ，b ，c ． （1）若3a =，4b =，则tan A =      ； （2）若21b =，29c =，则tan A =    ； （3）若2a =，6b =，则tan A =      ； （4）若9a =，15c =，则tan A =      ． 【解答】解：（1）若3a =，4b =，则3
tan 4
A =
；
（2）若21b =，29c =，则20a =，20tan 21
A =； （3）若2a =，6b =，则1tan 3
A =
；
（4）若9a =，15c =，则12b =，3tan 4
A =． 故答案为：
34，2021，13，34
． 【点评】考查了锐角三角函数的定义，求锐角的三角函数值的方法：利用勾股定理求得三边，根
据锐角三角函数的定义求出对应三角函数值即可．
【例2】如图，在Rt ABC ∆中，斜边AB 的长为m ，35A ∠=︒，则直角边BC 的长是(  )
A ．sin35m ︒
B ．cos35m ︒
C ．
sin35m
︒
D ．
cos35m
︒
【解答】解：sin BC
A AB
∠=
， AB m =Q ，35A ∠=︒， sin35BC m ∴=︒， 故选：A ．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握正弦定义．
【例3】如图，在44⨯的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，ABC ∆的顶点都在格点上，则BAC ∠的余弦值是      ．
【解答】解：2
223425AB =+=Q 、2222420AC =+=、222125BC =+=，
222AC BC AB ∴+=，
ABC ∴∆为直角三角形，且90ACB ∠=︒，
则cos AC BAC AB ∠==
．
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟知在一个三角形中，如果两条边长的平方之和等  于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形是解答此题的关键．
【例4】将BAC ∠放置在55⨯的正方形网格中，顶点A 在格点上．则sin BAC ∠的值为      ．
【解答】解：如图所示：连接BC ，
AB BC ==Q ，AC = 222AB BC AC ∴+=， 90ABC ∴∠=︒，
45BAC ACB ∴∠=∠=︒，
sin 2BAC ∴∠=．
故答案为：2
．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确把握锐角三角函数关系是解题关键．
【例5】在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，若4AB =，3
sin 5
A =，则斜边A
B 边上的高CD 的长为      【解答】解：作CD AB ⊥于D ，如图，
在Rt ACB ∆中，3
sin 5
BC A AB =
=Q ， 312
455BC ∴=⨯=，
16
5
AC ∴， Q
11
22
CD AB AC BC =g g ， 16124855425
CD ⨯∴=
=， 即斜边上的高为48
25．
故答案为：48
25
．
【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角  三角形．
【例6】矩形ABCD 中10AB =，8BC =，E 为AD 边上一点，沿CE 将CDE ∆对折，使点D 正好落在AB 边上，求tan AFE ∠．
【解答】解：根据图形有：180AFE EFC BFC ∠+∠+∠=︒，
根据折叠的性质，90EFC EDC ∠=∠=︒， 即90AFE BFC ∠+∠=︒，
而Rt BCF ∆中，有90BCF BFC ∠+∠=︒， 易得AFE BCF ∠=∠， 在Rt BFC ∆，
根据折叠的性质，有CF CD =，
在Rt BFC ∆中，8BC =，10CF CD ==， 由勾股定理易得：6BF =，
则3tan 4
BCF ∠=
； 故有3tan tan 4
AFE BCF ∠=∠=； 答：3tan 4
AFE ∠=
． 【点评】本题考查折叠的性质，注意在折叠变化中，线段的位置一定变化与长度是否变化，及变  化前后的关系．
【例7】如图，在Rt ABC ∆中，BC 、AC 、AB 三边的长分别为a 、
b 、
c ，则sin a A c =，cos b A c
=，tan a
A b
=
．我们不难发现：22sin 60cos 601︒+︒=，⋯试探求sin A 、cos A 、tan A 之间存在的一般关系，并说明理由．
【解答】解：存在的一般关系有：
（1）22sin cos 1A A +=；
（2）sin tan cos A
A A
=
． 证明：（1）sin a A c =Q ，cos b
A c
=，
222a b c +=，
2222222
2222sin cos 1a b a b c A A c c c c +∴+=+===．
（2）sin a A c =Q ，cos b
A c =，
tan a a
c A b
b c
∴==，
sin cos A
A
=
． 【点评】本题通过利用勾股定理和锐角三角函数的概念来对锐角的一般关系：
（1）22sin cos 1A A +=；（2）sin tan cos A
A A
=
的证明推导．
知识点2  0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)
题型2 特殊角的三角函数值
【例8】计算或化简 （1）sin45cos60cos45sin30︒︒-︒︒g g ； （2）5tan302(cos60sin60)︒-︒-︒；
（3）20052004)45)︒︒g ；
（40145tan 45)(tan 60sin 30)(2sin 451)-︒-︒-︒+︒-︒-．
【解答】解：（1）原式11
022=；
（2）原式152(2=-
2=
1=
=
（3）原式20052004
=g
20051()2
=g （2）20042004200411()222=g g
12
=；
（4）原式11))0(21)1222⨯---⨯--
三角函数公式大全初中数学
21
=-
11)=-
=-
【点评】本题考查特殊角的三角函数值，准确掌握特殊角的函数值是解题关键．
【例9】在直角三角形中sin A 的值为1
2，则cos A 的值等于(  )
A ．1
2
B ．2
C
D 【解答】解：Q 在直角三角形中sin A 的值为1
2
，
30A ∴∠=︒．
cos cos30A ∴=︒= 故选：C ．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值．掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键．
【例10】已知α为锐角，且sin(10)α-︒=，则α等于(  )
A ．70︒
B ．60︒
C ．50︒
D ．30︒
【解答】解：sin(10)α-︒Q ，
1060α∴-︒=︒，
70α∴=︒．故选：A ．
【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，关键是掌握30︒、45︒、60︒角的各种三角函数值．

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