第五章“三角函数”单元-章首课教学设计
一、内容及其解析
1.内容：任意角和弧度制；三角函数的概念；诱导公式；三角函数的图象与性质；三角恒等变换；函数；三角函数的应用.
2.内容解析：
内容的本质：三角函数是继函数学习之后的一类特殊函数，它沟通了代数与几何，是学生第一个学习的多对一的函数，但同时与其他幂指对初等函数一样，是刻画现实世界中运动变化现象的典型模型，也在高等数学中有较为广泛的应用，例如它是欧拉公式的基础，是高中数学教学中的重要内容.
蕴含的数学思想和方法：学习三角函数的过程中对学生的数学语言、数学眼光以及数学思维发展具有促进作用，例如本单元中较为典型的数学建模、恒等变换、数形结合等数学思想方法均是发展学生数学思维能力的良好思想或方法.数形结合思想主要体现在结合单位圆的性质发现
诱导公式、性质从函数图像及函数解析式两个角度探讨等方面；逻辑推理主要是三角恒等变换应用与化简三角公式时，数学运算主要在求三角函数值的过程中渗透。实际上，三角恒等变换渗透了一个数学的重要思想——变换思想（只变其形，不变其质），这是数学公式学习的一个重要方法，更能帮助学生灵活应用公式进行运算，该部分在教材导引与章节小结中均有所提及。因此在该单元的教学中教师要鼓励学生应用数学结合思想解决问题，结合变形思想帮助学生建构知识结构框架，发展学生辨别知识本质的能力.
知识的上下位关系：基于对教材与课标的分析，三角函数单元包含的教学内容有任意角与弧度制、三角函数概念、诱导公式、三角函数的图像及性质、同角三角函数的基本关系式、函数的性质及图象，两角和与差公式与简单的恒等变换.
其中，“任意角”与“弧度制”是建立三角函数概念的基础；“诱导公式一”反应的是“周而复始的现象”；其他诱导公式则是“单位圆几何性质——对称性”的代数表示；“同角三角函数的基本关系”是三角函数下正弦函数、余弦函数以及正切函数之间的“关联”体现，是三角函数得到的研究对象，因此属于三角函数在数学方面的应用；“两角和与差的余弦公式”与“简单的恒等变换公式”是从“三角函数概念”出发得到的运算性质，但从单位圆视角看该代数关系反应的是“圆的
旋转不变性”。基于以上分析，为了便于构建三角函数单元的教学主线，将三角函数单元内容进一步划分为三角函数的背景、三角函数的概念、三角函数的性质、三角函数的关联内容（“关联内容”指的是与核心研究对象具有包含关系、被包含关系以及并列关系的内容）、三角函数的运算以及三角函数的应用，可得到三角函数的单元知识结构图如下：
育人价值：三角函数公式大全初中数学教科书在内容的编排上参照了知识的发生发展过程，利用“观察”“思考”“探究”等栏目自然地提出问题，引导学生层层深入地进行思考.通过推广、特殊化等方式环环相扣地给出
了一条观察事物（情境）、提出问题、分析问题、解决问题的线索，把学生的思维活动逐步引向深入，帮助学生在获得“四基”的过程中逐步提高“四能”，发展数学实践能力及创新意识，培育科学精神，促进学生学会学习.
教学重点：
由前面三角函数单元的教学内容分析可知，“任意角”与“弧度制”是建立三角函数概念的基础，“诱导公式”与“同角三角函数的基本关系”是三角函数概念出发推导出的简单性质，“函数的图象”可看作三角函数经过四则运算或复合运算得到的研究对象，因此属于三角函数在数学方面的应用，“两角和与差的余弦公式”与“简单的恒等变换公式”是从“三角函数概念”出发得到的运算性质。基于以上分析，三角函数的概念是本单元教学内容的中心，因此本单元的教学重点为“借助单位圆理解三角函数概念”.
二、教学目标及其解析
1.单元目标
本单元是在学习函数概念、一般性质以及幂指对函数的基础上，学习三角函数。掌握三角函
数的概念及性质，感受三角函数是刻画现实世界中周期现象和解决实际问题中的作用，进一步体会数形结合、数学建模等思想。单元教学目标具体如下：
（1）背景要求：了解三角函数的实际背景，感受三角函数在刻画现实世界中周期现象的应用，能体会到在“周而复始”的变化现象中匀速圆周运动的代表性.
（2）预备知识要求：了解三角函数单元下的任意角和弧度制，能实现弧度制与任意角的相互转化；感受到引入弧度制的必要性.
（3）概念与简单性质要求：经历三角函数概念的抽象过程，借助单位圆理解三角函数的定义，发展数学抽象核心素养；借助单位圆能画出正弦函数的图像和推导出诱导公式；借助单位圆与三角函数图像理解函数性质（周期性、奇偶性和最值)；理解同角三角函数的基本关系式、
（4）运算性质要求：掌握（正弦、余弦及正切）两角和与差的公式和二倍角公式，知道公式间的内在逻辑联系；能应用公式开展简单的恒等变换（包括和积互化公式以及半角公式），体会变换思想，发展数学运算和逻辑推理素养；
（5）对函数图像产生的影响；结合具体实例了解在实际中的意义，知道参数变化对函数图象产生的影响；能用复合三角函数处理简单的实际问题，感受三角函绘周期变化的典型数学模型，进一步体会建模思想.
2.目标解析
达成以上目标的标志是：
（1）学生能理解三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题上的作用；
（2）引导学生充分利用生活经验和其它学科的知识，为三角函数的学习提供丰富充实的背景支撑，以信息技术为媒介感受三角函数在刻画周期变化中的重要作用；
（3）充分利用章首课，引导学生从“刻画一类周期现象的重要数学模型”的角度来认识三角函数.
3.本章知识结构图
（1）教材内容安排
（2）单元教学思路图
三、教学问题诊断分析
1.问题诊断
学生在学习三角函数之前已经学习了锐角三角函数以及函数的相关知识。依据前面比较锐角三角函数与任意角三角函数的结果可知，锐角三角函数的有些知识会促进任意角三角函数相关结论的发现，例如锐角三角函数中已有的相关结论（例如同角三角函数间的关系）可引导学生推导任意角中同角三角函数的关系，又例如“初中所学角的内容”利于学生构建“任意角的学习主线”；有些知识会造成任意角三角函数学习的困难。例如，锐角三角函数是从纯几何的角度用线段长度来定义，而任意角三角函数是从解析的角度用点的坐标来定义，造成学生难以理解任意角三角函数的定义方式。学生通过对函数相关内容的学习，掌握了函数的知识以及积累了一定的函数研究方法，但在探究三角函数的相关性质时仍存在一定的难度，需要教师给予引导或提示。三角函数单元中在解决问题的过程中所涉及的数形结合思想、推理（逻辑推理与合情推理）、特殊到一般等常见数学思想方法有一定的理解，但是对函数与方程思想、恒等变换等数学思想方法较为薄弱.
2.教学难点：
  “函数的图象”是最简单的三角函数复合运算和四则运算得来的，相对于最简单的三角函数更为抽象，结合前面调查结果，多数学生难以建立“函数”与“函数”之间的联系，无论是从解析式的角度还是从图象角度，学生即使在学习完三角函数后仍存在较大困难，而“函数”又是刻画现实世界中周期现象的基本模型凸显了其不可或缺的地位，因此本单元将“认识参数、、对函数图象的影响，会求函数的图象与性质，体会函数与函数之间的内在关系”作为本单元的单元教学难点.
四、教学方式分析
三角函数是高中阶段学习的最后一个函数，学生已经有了研究函数、幂函数、指数函数以及对数函数的学习经验，在研究思路以及研究方法上学生已经有一定的基础。基于此，本单元的教学更为侧重“引导发现方式”与“活动交流方式”，例如“三角函数的概念”，教师帮助学生经历“周期现象——圆周运动——单位圆上点的运动”的过程，学生调动已有的“函数概念”，在教师引导下建立三角函数的概念；又例如，“诱导公式”的本质是“点周而复始运动”（诱导公式 1）和“单位圆对称性”的体现，后者是单位圆的几何性质，教师可以引导学生用刚学习的三角
函数来表示该几何性质，即将几何性质代数表示，经历“定性到定量”的过程。由于恒等变换公式间具有较强的内在联系，教师可以与学生对所有公式进行整理分析后，再采取“活动交流方式”进行教学.
本单元涉及的函数图像较多，为降低学生学习的难度，将图形直观化是一个有效的途径，因此结合计算机辅助教学在三角函数图像的研究过程中具有较大的作用.
五、章首课教学设计
章首课  周期现象
（一）课时教学内容：
“三角函数单元起始课”的知识点主要包含呈现生活中与其他学科中的周期现象，指出三角函数是刻画周期现象的典型模型，形成三角函数单元的研究主线。在对典型的三角函数模型进行抽象的过程中，蕴含了数学抽象和数学建模思想。该部分内容在教材中主要分布在三角函数章引言与章头图.本节课是三角函数单元的教学起点，既帮助学生感受到三角函数的广泛应用来提升学生学习的兴趣，也对三角函数的本质特点进行了暗示.
学生在小学阶段与初中阶段都在学习“规律”，在“规律”的教学中就涉及了周期现象的解释，因此高中阶段的学生对“周期现象是什么”是能判断的，但对于“周期现象的概念及特点”还需要教师引导学生进行归纳补充。对“周期现象”进行抽象得到较为简单与本质的模型过程需要学生的抽象思维能力，学生在函数与几何图形的学习过程中有一定的基础，教学中需要教师引导；学生在学习函数与幂指对函数时积累了一定的函数研究经验，对提出三角函数单元的研究内容有一定的帮助.

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