5.1.1 角的概念的推广
【教学目标】
1．理解正角、负角、终边相同的角、第几象限的角等概念，掌握角的加减运算．
2．通过观察实例，使学生认识角的概念推广的可能性和必要性，树立运动变化的观点，并由此深刻理解任意角的概念．
3．通过教学，使学生进一步体会数形结合的思想．
【教学重点】
理解任意角（正角、负角、零角）、终边相同的角、第几象限的角的概念，掌握终边相同的角的表示方法和判定方法．
【教学难点】
任意角和终边相同的角的概念．
【教学方法】
本节采用教师引导下的讨论法，结合多媒体课件，带领学生发现旧概念的不足之处，进而探索新的概念．讲课过程中，紧扣“旋转”两个字，让学生在动手画图的过程中深刻理解任意角的概念．
【教学过程】
环节
教学内容
师生互动
设计意图
复
习
导
入
1．复习初中学习过的角的定义．
2．提出新问题：
运动员掷链球时，旋转方向可以是逆时针也可以是顺时针，旋转量也不止一个平角，那如何来度量角的大小呢？
师：初中学过的角的定义是什么？
三角函数公式大全初中数学生：在平面内，角可以看作一条射线绕着它的端点旋转而成的图形．
B
师：如图：∠AOB=∠BOA=120，
O
A
初中时的角不考虑旋转方向，只考虑旋转的绝对量而且角的范围在0~360°．
    复习旧知，使学生发现旧知识的局限性，激发学习新知识的兴趣．
新
课
新
课
新
课
1．任意角的概念．
（1）射线的旋转方向：
逆时针方向——正角；
顺时针方向——负角；
没有旋转——零角．
画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量．旋转生成的角，又常称为转角．
例如，
∠AOB＝120°，∠BOA＝－120°．
（2）射线的旋转量：
当射线绕端点旋转时，旋转量可以超过一个周角，形成任意大小的角.角的度数表示旋转量的大小．
例如450°，－630°．
2．角的加减运算．
90°－30°
＝90°＋（－30°）
＝60°．
   
   
 
         
各角和的旋转量等于各角旋转量的和．
3．终边相同的角．
所有与α终边相同的角构成的集合可记为
S＝{x x ＝ α ＋ k·360°，kZ}．
例1（1） 写出与下列各角终边相同的角的集合．
(1) 45°；      (2) 135°；
(3) 240°；    (4) 330°．
解 略．
4．第几象限的角．
在直角坐标系中讨论角时，通常使角的顶点和坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合.这样角的大小和方向可确定终边在坐标系中的位置.这样放置的角，我们说它在坐标系中处于标准位置．
处于标准位置的角的终边落在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角．如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．
例1（2）  指出下列各角分别是第几象限的角．
(1) 45°； (2) 135°； (3) 240°； (4) 330°．
例2 写出终边在y轴上的角的集合．
解 终边在y轴正半轴上的一个角为90°， 终边在y轴负半轴上的一个角为－90°，因此，终边在y轴正半轴和负半轴上的角的集合分别是
S1＝{α α ＝ 90°＋k·360°，kZ}
S2＝{α α ＝－90°＋k·360°，kZ}
所以终边在y轴上的角的集合为
S1∪S2＝{αα＝90°＋k ·360°，kZ}
∪{α α＝－90°＋k·360°，kZ}
＝{α α＝90°＋k ·180°，kZ}．
模仿练习：
写出终边在x轴上的角的集合．
例3 在0～360°之间，出与下列各角终边相同的角，并分别判定各是第几象限的角？
（1）－120°；（2）640°；（3）－950°．
例4 写出第一象限的角的集合．
解  在0～360°之间，第一象限的角的取值范围是0°＜α＜90°，所以第一象限角的集合是
{αk ·360°＜α＜90°＋k ·360°，kZ}．
教师画图说明正角，负角，零角，以及角的始边、终边.
教师小结：由旋转方向的不同定义正负角，由旋转量的不同得到任意范围内的角．
1．教师画图，学生说角的度数．
2．学生练习：画出下列各角：
（1）0，360°，720°，
1 080°，－360°，－720°；
（2）90°，450°，－270°，
－630°．
学生练习：求和并作图表示：
30°＋45°，60°－180°．
师：观察我们刚画过的角，
（1）0，360°，720°，1080°，－360°，－720°；
（2）90°，450°，－270°，
－630°．
思考：始边、终边相同的两个角的度数有什么关系？
学生讨论后回答：终边相同的两个角的度数相差360°的整数倍．
师：与30°始边、终边都相同的角有哪些？有多少个？它们能不能统一用一个集合来表示？
得出结论．
例1（1）由学生口答，教师给出规范的书写格式．
例1（2）学生口答．
讲解例2时，教师结合教材图示的平面直角坐标系，带领学生分析题意．
师：角的终边落在y轴上包含哪两种情况？
生：终边落在y轴正半轴上或者落在y轴负半轴上．
师：90°的角终边落在y轴的正半轴上吗？与它终边相同的角的集合是什么？
－90°的角终边落在y轴的负半轴上吗？与它终边相同的角的集合是什么？
这两个集合的并集怎么求？
 
例3引导学生画图解决，或者用计算器解答．
教师结合平面直角坐标系讲解例4．
学生分组练习：
（1）写出第二象限角的集合；
（2）写出第三象限角的集合；
（3）写出第四象限角的集合．
可增加判断题：使学生准确区分0～90°的角，锐角，小于90°的角，第一象限角．
学生通过自己练习画图，深刻体会“旋转”两个字的含义，加深对任意角的概念的理解．
学生自己动手画图求和，加深对旋转变化的理解．
将例1分解为两个小题，边讲边练，小步子，低台阶，学生容易消化吸收．
例2难度较大，教师应详细讲解两个集合如何求并集．
本模仿练习意在渗透B组练习的解题思路．
小
结
1．任意角的概念．
2．角的加减运算．
3．终边相同的角的集合．
4．象限角的概念．
教师带领学生回顾本节课的知识脉络图．
本节课概念众多，通过梳理脉络，帮助学生巩固知识．
作
业
教材P127，练习A组第3、4题；
练习B组第1、3题．
巩固拓展．

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