利用数学模型，搭建学生学习的脚手架
作者：冼鉴民
来源：《新课程学习·下》2013年第04期
        摘 要：模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径，是学生学习数学和应用数学必备的能力。在初中数学教学中根据“问题情境—建立模型—求解验证”来建立数学模型，并在教学中注意渗透数学建模思想，能引导学生探究数学知识与规律，培养数学能力，加深数学知识与原理的理解，让问题解决化难为易，为学生学习数学搭建可靠的脚手架。
        关键词：模型思想；数学模型；数学学习；脚手架
        一、问题的提出
        数学模型是沟通数学与外部世界的桥梁，模型思想是数学的基本思想之一。数学建模思想方法作为数学的一种基本方法，渗透在初中数学教材的各种知识板块当中，在方程、不等式、函数和三角函数等内容篇章中呈现得更为突出，学生学习掌握这种思想方法是完成学习任务和继续深造学习必备的基本能力。总之，在初中数学教学中渗透数学建模思想，就是帮助学生搭建数学学习的脚手架。
        二、建立数学模型，搭建学生学习的脚手架
        在初中数学教学中建立数学模型，并注意渗透数学建模思想，能引导学生探究数学知识与规律，培养数学能力，加深数学知识与原理的理解，让问题解决化难为易，为学生学习数学搭建可靠的脚手架。
        1.利用数学模型，搭建学生理解知识来龙去脉的脚手架，让问题解决化难为易
        以实际问题的解决作为载体，并结合初中数学中常见的数学模型，通过建立数学模型来引入数学的概念、法则，通过解决实际问题，帮助学生理解知识的来龙去脉，加深学生对数学知识的理解与掌握，让问题解决化难为易。
        例1.王芳同学跳起来把一个排球打在离她2米远的地上，排球反弹碰到墙上，如果她跳起击球的高度是1.8米，排球落地点离墙的距离是6米，假设球一直沿直线运动，球能碰到墙面离地多高的地方？
        在解答本题时，有的学生尝试画图，有的学生尝试运算，还有的学生尝试解读。生生互动，可谓热闹。然而，成绩好的学生做得有滋有味时，还有一部分学生无从入手。这时，教
师可采用“问题情景—建立数学模型—解决问题”的教学模式，使学生在有梯度的理解中，不断联系思维，让模型浮出水面。教师可以让学生先解决纯数学问题：（已知：C、B、E在同一直线上，∠ACB＝∠DEB＝90°，∠ABC＝∠DBE，AC＝1.8，CB＝2，BE＝6，求DE。）然后，将该模型放在实际背景里，让学生理解，再认识模型，获取已有的知识印象，再通过反复思考，回应模型的本质，从而达到化难为易、最终解决问题的目的。
        数学模型的建立，需要教师有心栽花，也需要课堂反反复复地训练，还需要学生的瞬间顿悟方可成就的。
        2.搭建数形转化的脚手架，生成数学模型，加深数学知识与原理的理解
        数学知识的学习对形成学生的模型思想是非常重要的。很多老师在对基础知识的教学，存在着“轻过程，重结果”的现象。事实上，一个公式的推导伴随着数学模型的建立过程，所以一定要引导学生经历这个公式的推导过程。
        例2.对平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2的教学。
        平方差公式是一个常用的公式，我们可以运用多项式乘以多项式的推理，得出这个公式，
并进行相应的操练。除了这个方法外，我们还要根据学生已有的生活经验，让学生探究，充分展示“探究过程”：平方差公式的几何意义是什么？是否可以通过图形的拼凑来得到这个公式？并引导学生观察公式的特点：左边是两数和乘以这两数差的形式，右边是两数的平方差。如图：图1中外框是边长为a的正方形，右下角是边长为b的正方形，把它剪去，再把①拼凑到图2的位置，左边图形的面积是a2-b2，右边图形的面积是（a+b）（a-b），从而可得（a+b）（a-b）=a2-b2。
        利用数形结合的思想，我们还可以探究得到完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2；勾股定理：a2+b2＝c2等等。
        ■
        这样，学生通过合作交流，完成剪拼活动，验证了公式的正确性。学生经历了探索过程，生成了数学模型，帮助学生进行数形转化，不仅能理解、掌握公式的意义，而且还能获得数学活动经验，让学生体会到几何与代数之间的内在联系，符合《义务教育数学课程标准》的理念。
        3.逐步渗透数学模型思想，搭建思维桥梁，引导学生探究数学知识与规律，培养数学能力
        数学要根据具体的教学内容，创设合理的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流等活动，获得数学的基础知识、基本技能、基本思想及基本活动经验，促使学生发现问题和分析问题能力的不断提高。所以，在教学中，应结合具体问题创设情境，活用数学模型思想，引导学生进行观察、操作、探究、归纳、猜想、讨论、交流等一系列活动，从而培养数学能力。
        例3.参加一次足球比赛的每两队之间都进行一场比赛，共有6队参加比赛。
        1.在这次比赛中，共进行多少场比赛？
        2.如果参加比赛队数10队，又共进行多少场比赛？对于任意队数参赛，能否出一种办法计算共进行多少场比赛？
        对于这个问题，我们可以这样引导学生进行思考探索：
        1.如果有两个队参赛，比赛场数为1场，如果有三个队参赛，比赛场数为2场，如果有四个队参赛，比赛场数为6场……如果有五个队参赛，六个队参赛，x个队参赛呢？
        赛场数y与x个队参赛关系，请完成下表：
        ■ 2.以表中的对应数据为坐标点，描出y与x之间的函数关系所对应的图象。
        3.猜想y与x之间的函数关系是怎样的？并求出y与x之间的函数关系式。
        分析：
        1.通过学生分析、探究等活动，容易得出表中对应的y的值。
        2.在得出y的值后，建立直角坐标系，通过描点、连线，得出如图3所示的函数图象。
        ■
        3.通过观察发现，所画的图象是抛物线的一部分，把表中的任三个点代入抛物线的解析式y=ax2+bx+c，求出解析式y=■x2-■x。这就是共赛场数y与x个队参赛之间的一个数学模型，有了这个模型，比赛场数问题就不难解决了。
        活用这个模型，我们还可解决类似的问题：“参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？”“一个n边形，对角线的总条数s与n的函数关系式”等等。
        学生在学习了新知识后，教师应根据教材的内容、特点对所学内容进行深化，渗透数学模型思想，搭建思维桥梁，引导学生探究数学知识与规律，促进学生的知识迁移和发展，提高学生解决问题的能力。
        例4.求证：任意四边形四边中点的连线，所得的四边形是平行四边形。
        已知：四边形ABCD中，三角函数公式大全初中数学E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形。
        ■
        此问题是在学习了三角形的中位线定理后出现的，题目涉及中点，教学中可引导学生用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”等方法来证明，实现“一题多证”。这样做既开
拓了学生的思维，又能使知识、能力都得到提升。如果把题目再作一些修改，实现“一题多变”。把题目中的“四边形ABCD”改为“平行四边形ABCD”“矩形ABCD”“菱形ABCD”“梯形ABCD”“等腰梯形ABCD”“正方形ABCD”等，四边形EFGH又是什么样的特殊四边形？通过学生讨论、探究，引导学生总结四边形EFGH的形状与原四边形ABCD的什么条件有关？是与四边形ABCD的对角线有关，最后得出“当四边形ABCD的对角线相等，则四边形EFGH是矩形”“当四边形ABCD的对角线垂直，则四边形EFGH是菱形”这个数学模型。
        像这样，搭建“一题多证”“一题多变”的脚手架，渗透数学模型思想，引导学生探究数学知识与规律，提高学生的数学学习能力。
        以实际问题的解决作为载体，并结合初中数学中常见的数学模型，通过建立数学模型来理解数学的概念和原理，让学生体验到数学学习与研究并不是无章可循，难于登天。引导学生在研究数学问题时，以实际问题为数学背景，建立数学模型，利用已有的数学方法求得问题解决。从而使学生在数学的学习中逐步体会数学模型的作用，体验与运用数学建模的思想。
        数学是训练思维学科，在数学教学中教师应注意引导学生大胆想象和猜想，应用已有数
学知识，尝试构建数学模型解决实际生产生活中的数学问题；作为数学教师要更新教学理念，提高自身的数学建模水平，在教学过程中，搭建思维桥梁与脚手架，才能更好地引导学生通过数学建模树立解决数学应用问题的信心，提高解决实际问题的能力。
        参考文献：
        ［1］李树臣.渗透数学模型思想的基本途径.中学数学杂志，2012（10）.
        ［2］张雄，李得虎.数学方法论与解题研究.教育出版社，2003.
        ［3］赵振威.中学数学教材教法.华东师范大学出版社，1994.
        （作者单位 广东省广州市番禺区大石中学）

版权声明：本站内容均来自互联网，仅供演示用，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系QQ:729038198，我们将在24小时内删除。