基本函数的求导公式及其应用
1. 导数的定义
在微积分中，导数是一种描述函数变化率的重要工具。导数可以用极限的形式来定义，如下：
f′(x)=lim
h→0f(x+h)−f(x)
h
这个定义表示，当自变量x的增量h趋于零时，函数f(x)的增量与h的比值趋于一个常数，这个常数就是f(x)在x处的导数，记作f′(x)。也可以用另一种等价的形式来定义导数：
f′(x)=lim
x1→x f(x1)−f(x) x1−x
这个定义表示，当自变量x1趋于x时，函数f(x)的平均变化率趋于一个常数，这个常数就是f(x)在x处的导数，记作f′(x)。
导数的几何意义是函数曲线在某一点处的切线的斜率。如下图所示，函数f(x)在点(x,f(x))处的切线的斜率就是f′(x)。
2. 常见函数的求导公式
根据导数的定义，我们可以求出一些常见函数在任意点处的导数。下面列出了一些基本函数的求导公式：
常数函数：f(x)=C，则f′(x)=0
幂函数：f(x)=x n，则f′(x)=nx n−1
指数函数：f(x)=a x，则f′(x)=a x ln a
对数函数：f(x)=log a x，则f′(x)=1
x ln a
三角函数：f(x)=sin x，则f′(x)=cos x
三角函数：f(x)=cos x，则f′(x)=−sin x
三角函数：f(x)=tan x，则f′(x)=sec2x
反三角函数：f(x)=arcsin x，则f′(x)=1
√1−x2
反三角函数：f(x)=arccos x，则f′(x)=−1
√1−x2
反三角函数：f(x)=arctan x，则f′(x)=1
1+x2
3. 求导法则
除了直接根据定义求导外，我们还可以利用一些求导法则来简化求导过程。下面介绍几种常用的求导法则：四则运算法则：如果f(x)和g(x)都可导，则
(f+g)′(x)=f′(x)+g′(x)
(f−g)′(x)=f′(x)−g′(x)
(fg)′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
(f g)′(x)=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)
g2(x)
链式法则：如果f(u)和u=g(x)都可导，则
(f∘g)′(x)=f′(g(x))g′(x)
反函数法则：如果f(x)是可导的单调函数，且f′(x)≠0，则
(f−1)′(x)=1
f′(f−1(x))
4. 求导实例
下面给出一些利用求导公式和法则求导的实例：
求f(x)=x2+2x−3的导数
解：根据幂函数和四则运算法则，有
f′(x)=(x2)′+(2x)′−(3)′=2x+2−0=2x+2求f(x)=e x sin x的导数
解：根据指数函数、三角函数和乘积法则，有
f′(x)=(e x)′sin x+e x(sin x)′=e x sin x+e x cos x=e x(sin x+cos x)求f(x)=ln(1+x2)的导数
解：根据对数函数、幂函数和链式法则，有
f′(x)=
1
1+x2
(1+x2)′=
1
1+x2
(0+2x)=
2x
幂函数求导公式表1+x2
求f(x)=√x的导数
解：根据反函数法则，我们可以先求出f(x)的反函数为g(x)=x2，然后求出g′(x)=2x，再代入反函数法则得到
f′(x)=
1
g′(f(x))
=
1
2√x
5. 总结
本文介绍了基本函数的求导公式，包括导数的定义、常见函数的求导公式、求导法则和求导实例。通过掌握这些公式和法则，我们可以方便地求出各种函数在任意点处的导数，从而分析函数的变化率、极值、曲率等性质。求导是微积分的基础，也是高等数学的重要内容。

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