第五章　一元函数积分学
5.1　原函数和不定积分的概念
 
  一、原函数与不定积分的概念
  定义：如果在区间I内，存在可导函数F（x）使都有F＇（x）=f（x）或dF（x）=f（x）dx，那么函数F（x）就称为f（x）在区间I内原函数。
  例：，sinx是cosx的原函数。
 
  Lnx是在区间（0，+∞）内的原函数。
  原函数存在定理：
  如果函数f（x）在区间I内连续，那么在区间I内存在可导函数F（x），使，都有F＇（x）=f（x）。
  简言之：连续函数一定有原函数。
  问题：（1）原函数是否唯一？
  （2）若不唯一它们之间有什么联系？
  例：（sinx）＇=cosx　（sinx+C）＇=cosx
  （C为任意常数）
  关于原函数的说明：
  （1）若F＇（x）=f（x），则对于任意常数C，F（x）+C都是f（x）的原函数。
  （2）若F（x）和G（x）都是f（x）的原函数，则F（x）-G（x）=C（C为任意常数）
  证∵[F（x）-G（x）] ＇=F＇（x）-G＇（x）
  =f（x）=f（x）=0
  ∴F（x）-G（x）=C（C幂函数求导公式表为任意常数）
  不定积分的定义：
  函数f（x）的全体原函数的集合称f（x）的不定积分，记为∫f（x）dx。
  ,其中∫为“积分号”，f（x）为被积函数，f（x）dx为被积表达式，C为任意常数。
  例：求。
  【答疑编号11050101】
  解：
  例：求。
  【答疑编号11050102】
  解：
 
  积分曲线
  例 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程。
  【答疑编号11050103】
  解：设曲线方程为y=f（x）,
  根据题意知
  即f（x）是2x的一个原函数。
 
  由曲线通过点（1，2）
  所求曲线方程为y =x2+1。

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