3.2.1 导数的计算(第1课时)
一、教学目标 1.核心素养:
通过学习常用函数的导数，培养学生的数学抽象和数学运算能力. 2.学习目标
（1）学会应用定义求函数的三个步骤推导五种常见函数的导数公式. （2）掌握并能运用这五个公式正确求函数的导数. 3.学习重点
五种常见函数的导数公式及应用. 4.学习难点
五种常见函数的导数公式的推导. 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务 任务1
阅读教材P81—P82，思考：推导常见函数的导函数的方法是什么？函数变化的快慢与其导函数有怎样的关系？ 2.预习自测
1.下列函数中哪两个导函数是相同的
A.2y x =
B.23y x =
C.234y x =+
D.9y = 解：B
2.下列哪个函数的变化速率最快
A.2y x =
B.32y x =-+
C.1
3
y x =      D.4y x =+
解：B
（二）课堂设计 1.知识回顾
（1）求()f x 在0x x =的导数的步骤为： ①求增量：00()()y f x x f x ∆=+∆- ②算比值：
()()
y f x x f x x x
∆+∆-=
∆∆
③求极限：00'()lim
x y f x x
∆→∆=∆
（2）导数的几何意义：0'()f x 表示函数()y f x =在点00(,())x f x 处的切线斜率. 2.问题探究
问题探究一  （1）函数()y f x c ==的导数 根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x
∆+∆--===∆∆∆， 所以00
lim
lim 00x x y
y x ∆→∆→∆'===∆.
0y '=表示函数y c =图像上每一点处的切线的斜率都为0.若y c =表示路程关于时间的函数，
则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态. （2）函数()y f x x ==的导数 因为
()()1y f x x f x x x x x x x
∆+∆-+∆-===∆∆∆，所以00lim lim 11x x y y x ∆→∆→∆'===∆.
1y '=表示函数y x =图像上每一点处的切线的斜率都为1.若y x =表示路程关于时间的函数，
则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动. （3）函数2()y f x x ==的导数
因为22()()()y f x x f x x x x x x x ∆+∆-+∆-==∆∆∆222
2()2x x x x x x x x +∆+∆-==+∆∆
所以00
lim
lim (2)2x x y
y x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆.
2y x '=表示函数2y x =图像上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，
说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化.另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <；时，随着x
的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快.若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x . （4）函数1
()y f x x
==
的导数 因为11
()()y f x x f x x x x
x x x -
∆+∆-+∆==
∆∆∆2()1()x x x x x x x x x x -+∆==-+∆∆+⋅∆ 所以220011
lim
lim ()x x y y x x x x x
∆→∆→∆'==-=-∆+⋅∆.
因为1
y x
=
的图象是双曲线，所以图象上点(,)x y 处的切线的斜率随着x 的变化而变化.当0x >时，随着x 的不断增加，切线的斜率由负值不断增大，函数1
y x
=的值减少得越来越慢；随着
x 的不断减小，切线的斜率由负值不断减小，函数1
y x
=的值增加得越来越快；当0x <；时，
与上面情况正好相反.
（5）函数()y f x ==
因为
()()y f x x f x x x
∆+∆-==∆
∆
=
=
0lim lim x x y y x ∆
→∆→∆'===
∆想一想：对于幂函数*()()n y f x x n Q ==∈，其导函数是怎样的？ 若*()()n y f x x n Q ==∈，则1()n f x nx -'=. 问题探究二  常见函数的导数的应用 例1 求函数2()f x x =在(1,1)处的切线方程. 【知识点：导数的几何意义】
详解：因为2()f x x =，所以'()2f x x =，因为切点为(1,1)，所以切线斜率'(1)2k f ==，所以切线方程为12(1)y x -=-，即21y x =-. 3.课堂总结 【知识梳理】 常见导数的公式:
'0c =,'1x =,2()'2x x =,211
()'x x =-
,=.
【重难点突破】
准确应用推导方法推导出公式并掌握其应用. 4.随堂检测
1.物体的运动方程是22s t =，则其在t 时刻的瞬时速度为（  ） A.22t          B.2t          C.4t      D.t  【知识点：导数的物理意义】 解：C
2.2
()f x x
=
幂函数求导公式表
在1x =处的切线斜率为（  ） A.1          B.2            C.1-        D.2- 【知识点：导数的几何意义】 解：D
3.已知函数2()f x x =，分别计算()f x 在下列时刻的瞬时变化率： （1）1x =；（2）  1.1x =；（3）2x =-；（4）x t =. 【知识点：导数的几何意义】
解：'()2f x x =  (1)'(1)2f =；(2)'(1.1)  2.2f =；(3)'(2)4f -=-；(4)'()2f t t =. 4.求函数1
2
()f x x =在(1,1)处的切线方程. 【知识点：导数的几何意义】
解：
'()f x =1'(1)2f ∴=
,∴函数在(1,1)处的切线方程为1122
y x =+. （三）课后作业 基础型
1.下列结论不正确的是(  )
A.若0=y ，则0='y
B.若x y 5=，则5='y
C.若1
-=x y ，则2
--='x y      D.若2
1
x y =，则2
12-='x y
【知识点：导数的求法】 解：D
2.若函数x x f =)(，则)1(f '等于(  )
A.0
B.12-
C.2
D.1
2
【知识点：导数的求法】 解：D 3.抛物线2
4
1x y =
在点(2,1)处的切线方程是(  ) A.01=--y x        B.03=-+y x  C.01=+-y x        D.01=-+y x  【知识点：导数的几何意义】 解：A
4.已知3)(x x f =，则)2(f '＝(  ) A.0      B.23x        C.8  D.12 【知识点：导数的求法】 解：D
5.质点作直线运动的方程是4t s =，则质点在3=t 时的速度是(  ) 【知识点：导数的循物理意义】 A.
4
3
3
41      B.
3
4
3
41      C.
3
4
3
21    D.
4
3
4
31
解：A 能力型
6.过点P (－2,0)作曲线x y =的切线，求切线方程. 【知识点：导数的求法】
解：因为点P 不在曲线x y =上，故设切点为Q (x 0
，∵'y =
，∴过点Q 的切线
0=，∴x 0＝2
，∴切线方程为：2)y x -=
-，即：x
－＋2＝0.

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