§2.2  导数的运算法则与基本公式
一、导数的和、差、积、商运算法则
如果函数()u x 、()v x 在x 处都可导，则它们的和、差、积、商在x 处也可导；
(1) [()()]()()u x v x u x v x '''±=±；
(2) [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '''⋅=+；
(3) 2
()()()()()()[()]u x u x v x u x v x v x v x '''⎛⎫-= ⎪⎝⎭
(()0)v x ≠；
推广到多个函数情形：
设有n 个函数1()u x 、2()u x 、…、()n u x 都可导，则：
(1)1212[()()()]()()()n n u x u x u x u x u x u x ''''±±±=±±±
(2)
12121212[()()()]()()()()()()()()()
n n n n u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x '
'''=+++
(3)[()]()ku x ku x ''=（k 为常数）
定理2.3 设函数1
()x f y -=在某个开区间
内单调可导，且1
[()]0f y -'≠，则反函数()
y f x =在对应区间内可导，且11
()[()]f x f y -'='
.
证明：
0001
011
()lim lim lim 11[()]lim x x x y y f x x x
x y y
x f y y
∆→∆→∆→-∆→∆'===
∆∆∆∆∆==∆'∆
二、基本初等函数的求导公式
1.常数的导数：
()0c '= （c 为常数）
证明：()f x c =
00()()
()lim
lim 0x x f x x f x f x x
c c x
∆→∆→+∆-'=∆-==∆
2.幂函数的导数：
1
()n n x nx -'= （n 为常数）
证明：()n
f x x =，0()()lim n
n
x x x x
f x x
∆→+∆-'=∆
110()lim n
n n n n
n
n n
x C x C x x C x x
x
-∆→+∆++∆-=∆  112210
lim[()]n n n n n
n
n
x C x
C x
x C x ---∆→=+∆++∆ 1
n nx -=
例1 求4
sin y x x =+的导数.
解：4
(sin )y x x ''=+
4
()(sin )x x ''=+.
3
4cos x x =+.
例2 求5
幂函数求导公式的证明cos y x x =的导数.
解：5
(cos )y x x ''=
55
()cos (cos )x x x x ''=+.
4
5
5cos sin x x x x =-.

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