一、导数的概念与运算
★知识点归纳
1、导数：对于函数()f x ，如果当x ∆无限趋近于0时，平均变化率
()()x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆00无限趋近于一个常数A ，那么常数A 称为函数()f x 在x =0x 处的导数.记作'
0()f x A =或0'|x x y A ==.
一般地，这一过程可表示为：0000()()
()lim x f x x f x f x x
∆→+∆-'=∆＝A .
2、导函数：如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的任一点处都可导，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应
着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/
x f 为函数)(x f y =在开区
间内的导函数，简称导数. 3导数的几何意义：
如图是函数()y f x =的图象，点00(,)P x y 是曲线c 上一点，作割线PQ，当点Q 沿着曲线c 无限地趋近于点P 时，割线PQ 无限地趋近于某一极限位置PT 我们把极限位置上的直线PT ，叫做曲线c 在点P 处的
切线。函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率. 即k =000
()()
()lim x f x x f x f x x
∆→+∆-'=∆.
说明：
（1）切点既在曲线上，又在切线上.
（2）切线方程为：/
000()()y y f x x x -=- （00()y f x =）.
4、基本初等函数的求导公式：
（1）常函数的导数：0'=C (C 为常数)（2）幂函数的导数：1
()x x
ααα-'=
（3）指数函数的导数： x
x
e e =)'( ; a a a x
x
ln )'(= (01)a a >≠，
（4）对数函数的导数： x x 1)'(ln =; (log )'a x ==a
x ln 1 (01)a a >≠， （5）三角函数的导数：x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=.
（2）可得：211
()x x '=-
，1()2x x
'=.这两个公式很常见，最好记住.
导数的四则运算法则：
（1）)()()]()(['
'
'
x v x u x v x u ±=±． （2）[()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+. （3）)0)(()
()
()()()(])()([
2≠'-'='x v x v x v x u x v x u x v x u . (4) [()][()]C f x C f x ''⋅=⋅ 例1、如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，
，则0
(1)(1)
lim
幂函数求导公式的证明x f x f x
∆→+∆-=∆ ．
2 B
C
A
y x
1 O 3 4 5 6
1 2 3 4
例2、如图所示，函数)(x f y =的图象在点p 处的切线方程是8+-=x y ， 则()5f = ，()5f '= ．
点评：函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处的切线的斜率，注意切点既在曲线上，又在切线上. 二、导数的运算
例3、求下列函数导数: （1）5
-=x y ( 2）x
y 4= （3）x x x y =
（5）2sin y x = （6）1
cos 3
y x =
例4、求下列函数的导数：
（1）x x x x f ln 42)(2
--= (2) sin x y e x =
(3) 2cos x
y x
= （4）ln x y e x = （5）ln 31x x y x =
-+ （6）1()ln 1a
f x x ax x
-=-+-
三、曲线的切线问题 例5、曲线sin 1
sin cos 2
x y x x =
-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为（ ）
A ．12-
B ．12
C ．22-
D ．
22
O
x
y
P
8y x =-+
5
例6、（1）曲线2
y 21x x =-+在点（1,0）处的切线方程为（ ）
A ．1y x =-
B ．1y x =-+
C ．22y x =-
D ．22y x =-+
（2）过点)16,0(A 作曲线x x y C 3:3
-=的切线，则此切线方程为________________.
点评：函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处的切线的斜率.相应地，切
线方程为：/
000()()y y f x x x -=- （00()y f x =）.对于切线问题，一般要切点，求导数，得斜率.
要注意切点既在曲线上，又在切线上.
求切线方程的两个类型：
（1）求过曲线上一点（切点）的切线方程，直接套公式即可.
（2）求过曲线外一点（非切点）的切线方程，可采用假设“切点法”来求. 例8、设函数()b
f x ax x
=-
，曲线)(x f y =在点(2,(2))P f 处的切线方程为74120x y --=. （1）求()y f x =的解析式；
（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值.
练习： 一、选择题
1、已知物体做自由落体运动的方程为21(),2s s t gt ==
若t ∆无限趋近于0时，(1)(1)
s t s t
+∆-∆无限趋近于9.8/m s ，那么正确的说法是（ ）
A ．9.8/m s 是在0～1s 这一段时间内的平均速度
B ．9.8/m s 是在1～（1+t ∆）s 这段时间内的速度
C ．9.8/m s 是物体从1s 到（1+t ∆）s 这段时间内的平均速度
D ．9.8/m s 是物体在1t s =这一时刻的瞬时速度.
3、已知函数/2
()3f x x =，则()f x 的值一定是（ ）
A. 3
x x + B. 3
x C. 3
x c + (c 为常数) D. 3x c +(c 为常数) 4、若32()32,'(1)4f x ax x f =++-=，则a 等于（ ）
A.
193 B. 163 C. 133 D. 103
5、下列算式正确的是 （ ）
A.211'1x x x ⎛
⎫+=+ ⎪⎝⎭
B.21(log )'ln 2x x =
C.3(3)'3log x x e =⋅
D.2(cos )'2sin x x x x =- 6、若5()ln x f x x e =+，则'(1)f 等于（ ）
A. 0
B. e
C.555e +
D.55e
7、已知曲线2
3ln 4
x y x =-的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ）
A ． 2
B ．3
C ．
1
2
D ．1
8、曲线x y e =在1
ln32
x =
处的切线的倾斜角是（ ） A.6π B.4π C.3
π
D.23π
9、曲线313
y x x =
+在点4
(1,)3处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )
A ．19
B ．29
C ．13
D ．2
3
10、曲线2ln y x =上的点到直线230x y -+=的最短距离是 （ ）
C. 二、填空题
11、若0()2f x '=，则00()()
lim
2k f x k f x k
→∞
--=
12、2)'x = , (lg sin )'x x -= . 13、2(cos )'x x = , (ln )'x e x = .
14、过曲线3
y x -=上的点1(2,)8的切线方程为 .
15、若函数()f x 满足32
1()(1)3
f x x f x x '=-⋅-，则(1)f '的值为 .
16、与直线2610x y -+=垂直，且与曲线3231y x x =+-相切的直线的方程是 .
17、已知曲线()y f x =在2x =-处的切线的倾斜角为
34
π
，则(2)f '-= ，[(2)]f '-= . 18、若曲线2
ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴，则a =____________. 19、若曲线1y
x α=+(R α∈ )在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α=_________.
三、解答题
20、若直线y x b =-+为函数1
y x
=图象的切线，求b 的值和切点坐标.
21、在曲线3
2
3610y x x x =++-的切线中，求斜率最小的切线方程.
★综合提高 1、曲线2
x
y x =
+在点(1,1)--处的切线方程为 ( ) A. 21y x =+ B. 21y x =- C. 23y x =-- D. 22y x =--
2、若曲线1
2
y x -=在点12,a a -⎛
⎫ ⎪⎝⎭
处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a =( )
A ．64 B. 32 C. 16 D. 8
3、已知函数()'()cos sin ,4f x f x x π=+则()4
f π
的值为 .
4、若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与直线12:+-=x y l 平行，则a 的值为 .
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