基本初等函数的导数公式推导过程
一、幂函数（Q *）的导数公式推导过程()f x x α=α∈命题
若（Q *），则．
()f x x α=α∈()1f x x αα-'=推导过程
()
f x '()()
()()()()000112220
011222011222011220
幂函数求导公式的证明lim lim C C C C lim
C C C C lim C C C lim lim C C C x x x x x x f x x f x x
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x
x x x αα
ααααααααααααααααααααααα
αααααααα∆→∆→--∆→--∆→--∆→--∆→+∆-=∆+∆-=∆+∆+∆++∆-=∆-+∆+∆++∆=∆∆+∆++∆=∆=+∆++L L L L ()11
11
C x x
x ααααααα---∆==二、正弦函数的导数公式推导过程()sin f x x =命题
若，则．
()sin f x x =()cos f x x '=推导过程
()
f x '
()()()()()()0000020lim sin sin lim sin cos cos sin sin lim cos sin sin cos sin lim cos sin sin cos 1lim cos 2sin cos sin 12sin 1222lim x x x x x x f x x f x x
x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x
x x x x x ∆→∆→∆→∆→∆→∆→+∆-=∆+∆-=∆∆+∆-=∆∆+∆-=∆∆+∆-=∆∆∆⎡∆⎤⎛⎫⎛⎫⋅+⋅-- ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦=2
00002sin cos cos 2sin sin 222lim 2sin cos cos sin sin 222lim 2sin cos 22lim sin 2lim cos 22x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x ∆→∆→∆→∆→⎥∆∆∆∆⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=∆∆∆∆⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=∆∆∆⎛⎫+ ⎪⎝⎭=∆∆⎡⎤⎢⎥∆⎛⎫=+⋅⎢⎥ ⎪∆⎝⎭⎢⎥⎣⎦
当时，，所以此时．0x ∆→sin 22
x x ∆∆=sin
212x
x ∆=∆所以，所以原命题得证．()0lim cos cos 2x x f x x x ∆→∆⎛⎫'=+= ⎪⎝⎭
三、余弦函数的导数公式推导过程
()cos f x x =命题
若，则．
()cos f x x =()sin f x x '=-推导过程
()
f x '
()()
()()()()0000020lim
cos cos lim cos cos sin sin cos lim cos cos cos sin sin lim cos cos 1sin sin lim cos 12sin 1sin 2sin cos 222lim x x x x x x f x x f x x
x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x
x x x x x ∆→∆→∆→∆→∆→∆→+∆-=∆+∆-=∆∆-∆-=∆∆--∆=∆∆--∆=∆⎡∆⎤∆∆⎛⎫⎛⎫⋅---⋅ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=()2000002sin cos 2sin sin cos 222lim 2sin sin cos cos sin 222lim 2sin sin 22lim sin 2lim sin 22lim sin 2sin si x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x x x x ∆→∆→∆→∆→∆→⎪∆∆∆∆⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭=∆∆∆∆⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=∆∆∆⎛⎫- ⎪⎝⎭=∆∆⎡⎤⎢⎥∆⎛⎫=-⋅⎢⎥ ⎪∆⎝⎭⎢⎥⎣⎦
∆⎛⎫=- ⎪⎝⎭
=-=-n x
所以原命题得证．
四、指数函数（＞0，且）的导数公式推导过程
()x f x a =a 1a ≠命题
若（＞0，且），则．()x f x a =a 1a ≠()ln x f x a a '=推导过程
()
f x '
()()0000lim lim lim 1lim x x x x
x x x x
x x x x f x x f x x
a a x
a a a x
a a x ∆→+∆∆→∆∆→∆∆→+∆-=∆-=∆⋅-=∆⎛⎫-=⋅ ⎪∆⎝⎭
令，则，即．且当时，，1x t a ∆=-1x a t ∆=+()log 1a x t ∆=+0x ∆→1x a ∆→，即．所以原极限可以表示为：10x a ∆-→0t →()
f x '()()()0010lim lo
g 11lim 1log 11lim log 1x t a x t a x t t a t a t a t t a t →→→⎡⎤=⋅⎢⎥+⎣⎦
⎡⎤⎢⎥=⋅⎢⎥⎢⎥+⎣⎦
⎡⎤⎢⎥=⋅⎢⎥+⎢⎥⎣⎦又因为，所以()1
lim 1e t
t t →+=()f x '1log e ln lne
ln x a x x a a
a a a
=⋅
=⋅=所以原命题得证．
五、对数函数（＞0，且，＞）
()log a f x x =a 1a ≠x 0的导数公式推导过程
命题
若（＞0，且，＞），则．()log a f x x =a 1a ≠x 0()1ln f x x a
'=
推导过程
()
f x '()()()000000lim
log log lim 1lim log 11lim log 1lim log 1lim log lim x a a x a x a x a x a x x f x x f x x
x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x ∆→∆→∆→∆→∆→∆→∆→+∆-=∆+∆-=∆⎡+∆⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥∆⎝⎭⎣⎦⎡+∆⎤⎛⎫⎛⎫=⋅⋅ ⎪ ⎪⎢⎥∆⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡+∆⎤⎛⎫=⋅ ⎪⎢⎥∆⎝⎭⎣
⎦⎧⎫⎡+∆⎤⎛⎫=⋅⎨⎬ ⎪⎢⎥∆⎝⎭⎣⎦⎩⎭=001log 1lim log 1x x a x x a x x x x x x x x ∆∆∆→⎡⎤+∆⎛⎫⎢⎥
⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
⎡⎤∆⎛⎫⎢⎥
=⋅+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦令．且当时，．所以原极限可以表示为：x t x
∆=0x ∆→0t →  ()
f x '()101lim lo
g 1t a t t x →⎡⎤=⋅+⎢⎥⎣⎦又因为，所以()1
lim 1e t
t t →+=()f x '11lne 1log e ln ln a x x a x a =⋅=⋅=所以原命题得证．

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