同角三角函数的基本关系及诱导公式
1．理解同角三角函数的基本关系式：sin2x +cos2x = 1,sin
三角函数诱导公式推导tan. cos
x
x
x
=
2．能利用单位圆中的三角函数线推导出
2αα
π
±π±
，的正弦、余弦、正切的诱导公式.
本知识点在高考中一般不单独命题，但它是三角函数的基础，常以诱导公式作为基础内容，综合同角关系式及三角恒等变换进行考查，解题时要熟练灵活运用公式及变形进行求解与化简.
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α＋cos2α＝1．
（2）商数关系：sin
cos
α
α
＝tanα．
2．三角函数的诱导公式
3．必记结论——特殊角的三角函数值
已知α是第二象限角，5
sin 13
α=
，则cos α= A ．5
13
-
B ．12
13-
C ．
5
13
D ．
1213
【答案】B
【解析】因为α是第二象限角，由22sin +cos =1αα， 得12
cos 13
α==-．
故选B ．
【考点定位】同角三角函数的基本关系
【名师点睛】1.利用22sin +cos =1αα，可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin cos α
α
=tan α可以实现角α的弦切互化．
2.注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.
.
【考点定位】诱导公式
【名师点睛】（1）利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负号—脱周期—化锐角．特别注意函数名称和符号的确定． （2）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．
（3）注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、整式化．
1．（2016·河南三市调研）sin750°的值为
A ．  C ．12
-
D.
12
2．（2016·河北质监）已知α为锐角，且2tan （π－α）－3cos ()2
βπ+＋5＝0，tan （π＋α）＋6sin （π＋β）
＝1，则sin α的值是
A ．
5  B ．
7
C    D ．
13
3．（湖南省东部六校2016届高三联考）设α为锐角，若cos （π+6α ）＝4
5
，则sin π(2+)3α的值为 A ．
2512
B ．2425
C ．2425-
D ．1225-
4．（2017
A ．sin2cos2+
B ．cos2sin2-
C ．sin2cos2--
D ．sin2cos2-
5．已知sin α=
44sin cos αα-的值为        ．
6． 在△ABC sin()3sin()2
A A π
-=π-，且cos A cos （π－B ），则C 等于        ． 7．已知2sin(
)63απ+=，则cos()3
απ
-
=        ． 8．已知向量a =（2，sin θ）与b =（1，cos θ）互相平行，其中θ∈(0,)2
π
.
（1）求sin θ和cos θ的值；
（2）若sin （θ－φ0<φ<2π，求cos φ的值．
参考答案
1．D 【解析】sin750°＝sin （2×360°＋30°）＝sin30°＝
1
2
.
故选D.
2．C 【解析】 由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3，故sin α.
3．B 【解析】因为设α为锐角，且πcos()6
+α＝
45，所以π3
sin()65
+==α，所以 ππππ3424
sin(2)sin 2()2sin()cos()236665525
+=+=++=⨯⨯=αααα，故选B.
4．D =|sin 2cos 2|=-sin 2cos 2.=-
5．35
- 【解析】44sin cos αα-2222222
3(sin cos )(sin cos )sin cos 2sin 1=.5
ααααααα=-+=-=--
6．
2π sin()3sin()3sin ,tan 2A ΑA A A π-=π-=∴ 又0A <<π，
6A π
=∴.又cos ),A B =π-即cos A B = ，1cos ,062B B π=
=<<π,∴  ..32B C ΑΒππ=
=π-(+)=∴∴ 故填2
π
. 7．2
3 【解析】2cos()sin[()]sin().32363
αααππππ-=--=+=
8．【解析】（1）∵a 与b 互相平行，∴sin θ＝2cos θ，
代入sin 2θ＋cos 2
θ＝1，可得cos θ＝±
，又θ∈(0,)2π，∴cos θsin θ（2）∵0<φ<
2π，0<θ<2π，∴－2π<θ－φ<2
π
，
又sin （θ－φ，∴cos （θ－φ，
∴cos φ＝cos[θ－(θ－φ)]＝cos θcos （θ－φ）＋sin θsin （θ－φ）=
2
.
1．同角三角函数基本关系可用于统一函数；诱导公式主要用于统一角，其主要作用是进行三角函数的
求值、化简和证明，如已知一个角的某一三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要特别注意平方关系的使用．
2．三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：（1）弦切互化法：主要利用公式
sin tan cos x x x =
进行切化弦或弦化切，如sin cos sin cos a x b x c x d x
++，a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2
x 等类型可进行弦化切．（2）和积转换法：如利用（sin θ±
cos θ）2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．（3）巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ（1＋tan 2θ）＝sin 2
θ21(1)tan tan 4
θπ
+
=＝…… 3．化简三角函数常用的三种方法
（1）化简不同名的三角函数的式子，解答此类问题的一般规律是利用“化弦法”，即把非正弦和非余弦的函数都化为正弦和余弦，以达到消元的目的．
（2（A 可化为形如a 2
|a |（a 是实数）
化去根号．
（3）化简含有较高次数的三角函数式，此类问题多用因式分解、约分等．
1．诱导公式的应用及注意事项
（1）应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值． （2）使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号，特别是在具体题目中出现类似kπ±α的形式时，需要对k 的取值进行分类讨论，从而确定出三角函数值的正负． 2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． 3．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.

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