精典专题系列  第8讲 
任意角和弧度制及任意角的三角函数同角三角函数基本关系式与诱导公式
1、导入： 
《难解的结》
古罗马时代，一位预言家在一座城市内设下了一个奇特难解的结，并且预言，将来解开这个结的人必定是亚细亚的统治者。长久以来，虽然许多人勇敢尝试，但是依然无人能解开这个结。
当时身为马其顿将军的亚历山大，也听说了关于这个结的预言，于是趁着驻兵这个城市之时，试着去打开这个结。
亚历山大连续尝试了好几个月，用尽了各种方法都无法打开这个结，真是又急又气。
有一天，他试着解开这个结又失败后，恨恨地说：“我再也不要看到这个结了。”
当他强迫自己转移注意力，不再去想这个结时，忽然脑筋一转，他抽出了身上的佩剑，一剑将
结砍成了两半儿–结打开了。
大道理：勇敢地跳出思想的绳索，打开心结。过后会发现，事情实际上没有看到的和想象中的那么困难。积极一点，什么都会给你让路。
二、知识点回顾：
1．角的有关概念
(1)从运动的角度看，角可分为正角、  负角    和  零角      ．
(2)从终边位置来看，可分为      象限角  和轴线角．
(3)若α与β是终边相同的角，则β可用α表示为β＝
    {β|β＝    α＋k·360°，k∈Z}    (或{β|β＝      α＋2kπ，k∈Z}        )．
2．象限角
象限角
集合表示
第一象限角的集合
2kπ<α<2kπ＋　k∈Z}
第二象限角的集合
2kπ＋<α<2kπ＋π　k∈Z}
第三象限角的集合
2kπ＋π<α<2kπ＋π　k∈Z}
第四象限角的集合
2kπ－<α<2kπ　k∈Z}
3．弧度与角度的互化
(1)1弧度的角
长度等于  半径    的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号表示．
(2)角α的弧度数
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝
(3)角度与弧度的换算①1°＝；②1 ＝()°
(4)弧长、扇形面积的公式
设扇形的弧长为l，圆心角大小为α()，半径为r，又l＝rα，则扇形的面积为S＝＝|α|·r2
4．三角函数的定义
(1)定义：设角α的终边与单位圆交于P(x，y)，则
    α＝      ，α＝，α＝ (x≠0)．
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在 x轴  上，余弦线的起点都是   坐标原点  ，正切线的起点都是单位圆与x轴正半轴的交点．
(3)正弦、余弦、正切函数值的符号规律．
正弦、余弦、正切函数值的符号规律可概括为“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
①“一全正”是指第一象限的三个三角函数值均为正．
②“二正弦”是指第二象限仅正弦值为正．
③“三正切”是指第三象限仅正切值为正．
④“四余弦”是指第四象限仅余弦值为正．
5．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：  2α＋2α  ＝1；
(2)商数关系：α＝  .
6.诱导公式
组数
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
余弦
正切
口诀
函数名不变符号看象限
函数名改变符号看象限
即α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成  锐角    时原函数值的符号；±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．
三、专题训练：
考点一  象限角、终边相同的角的表示
【例1】(1)如果α是第三象限的角，那么－α，2α的终边落在何处？
(2)写出终边在直线y＝x上的角的集合．
[自主解答]　(1)由α是第三象限的角得π＋2kπ＜α＜＋2kπ(k∈Z)
⇒ －－2kπ＜－α＜－π－2kπ.(k∈Z)
即＋2kπ＜－α＜π＋2kπ(k∈Z)．∴角－α的终边在第二象限；
由π＋2kπ＜α＜＋2kπ得2π＋4kπ＜2α＜3π＋4kπ(k∈Z)．
∴角2α的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴．
(2)在(0，π)内终边在直线y＝x上的角是，
∴终边在直线y＝x上的角的集合为{α|α＝＋kπ，k∈Z}．
1为第几象限角？
当k＝2n时，＋2nπ＜＜π＋2nπ，
当k＝2n＋1时，π＋2nπ＜＜π＋2nπ
∴为第二或第四象限角．
2.已知角α是第一象限角，确定2α，的终边所在的位置．
解：∵α是第一象限的角，
∴k·2π<α<k·2π＋(k∈Z)．
(1)k·4π<2α<k·4π＋π(k∈Z)，
即2k·2π<2α<2k·2π＋π(k∈Z)，
∴2α的终边在第一象限或第二象限或y轴的非负半轴上．
(2)k·π<<k·π＋(k∈Z)，
当k＝2n(n∈Z)时，2nπ<<2nπ＋(n∈Z)，∴的终边在第一象限．
当k＝2n＋1(n∈Z)时，(2n＋1)π<<(2n＋1)π＋(n∈Z)，即2nπ＋π<<2nπ＋(n∈Z)，
∴的终边在第三象限．
综上，的终边在第一象限或第三象限．
考点二  三角函数的定义
【例2】已知角α的终边上一点P(－，m)(m≠0)，且α＝，求α，α的值．
由题设知x＝－，y＝m，
∴r2＝2＝(－)2＋m2，得r＝，从而α＝＝＝，
∴r＝＝2，于是3＋m2＝8，解得m＝±.
当m＝时，r＝2，x＝－，∴α＝＝－，α＝－；
当m＝－时，r＝2，x＝－，∴α＝＝－，α＝.
(1)已知角三角函数诱导公式推导α的终边过点P(－3θ，4θ)，其中θ∈(，π)，求α，α，α的值．
(2)已知角α的终边过点P(x，－)(x≠0)，且α＝x，求α，α的值．
解：(1)∵θ∈(，π)，∴－1<θ<0，
∴r＝＝－5θ，∴α＝－，α＝，α＝－.
(2)∵P(x，－)(x≠0)，
∴点P到原点的距离r＝，∴α＝.
又∵α＝x，∴＝x.
∵x≠0，∴x＝±，∴r＝2.
当x＝时，P(，－)，由三角函数的定义，得α＝－，α＝－.
当x＝－时，P(－，－)，由三角函数的定义，得α＝－，α＝.

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