2020.26科学技术创新从一道三角函数求值题中引发的思考
华倩
（无锡开放大学，
江苏无锡214011）在学生的一节三角函数复习课上，
我循序渐进，从易到难，后面给出了一道难度大，思维性强、知广面识的例题，是一道求值题，
求cos π5-cos 2π
5之值。这看似简单的算式，
实则很难上手，若用倍角公式，
将cos 2π5写成2cos 2π
5-1的形式，
后面则无任何所获。为此，可以干脆把这一算式设为x ，显然x>0，则故2x 2+x-1=0，解得x=
12
小结一下：该例题的方法是一种整体代换法，设定一个元，经变形后又回到出现自身的表达式上，这样就建立了一个方
程，此法也可用于解某些非特殊角的三角函数求值问题。
虽说上面的解法自然合理，
但是学生怎么会想到设x 呢？又怎么会想到呢？例题讲解应贴近学生思维，深入浅出，用学生最易接受的方法讲解，才能讲懂讲透。
此时，我想到，虽然已知很简单，但从中能挖掘出的信息是：由倍角公式可知cos
π5=1-2sin 2π
10
；由诱导公式可知cos 2π5=sin （π2-25π）=sin π
10
；由度数与弧度数的换算公式可知sin
π
10
=sin18°。所以，此道求值题的关键就是求出sin18°的值。在黄金分割的学习中，这个问题可以这样解决：在ΔABC 中，已知AB=AC=a ，∠BAC=36°，作∠ABC 的平
分线交AC 于E ，可证得BC=BE=AE ，又易证ΔBCE 相似于ΔACB ，于是对应边成比例，得BC AC =CE
BC ，即BC 2=CE ·AC ，若设
BC=x ，则有x 2=（a-x ）a ，因此，x 2+ax-a 2=0，得x=
-a ±5a
√2
，因为x>0，所以，x=5√-12a ，即BC=5√-1
2
a 。此时，
只要过A 作AH ⊥BC 于H ，就可以得到sin18°=5√-14a
a =5√-1
4。于
是，
我欣喜地发现这样的解法思路清晰，分析细腻、合理，到
了解决问题的关键，从熟知的旧知识中到解决问题的方法
，
符合学生的思维特点，精彩有亮点，
有水到渠成的效果。但是可能会有学生觉得老师的解法漂亮，
技巧性强，但不易想到，那有没有与此类似，又容易想得到的方法呢？经过考
虑，重新认识，发现，另一方面，
摘要：求解一道有意义重难点数学题，有的时候可以把知识点拓宽，用系统的知识面去解决。三角函数求值题目类型多样，侧重点不同，不容易上手，要善于挖掘出隐含的信息，从整体上把握，灵活运用数学技巧和思维，抽丝剥茧，从而使题目完美地解决，同时启迪了学生的智慧。
关键词：三角函数求值；已知条件；思维；整体代换；技巧中图分类号：G634.6
文献标识码：A
文章编号：2096-4390（2020）26-0179-02
作者简介：华倩（1982-），女，汉族，江苏无锡，教师，讲师，工程硕士，本科，
研究方向：应用数学。2
2
222cos cos 2cos cos
三角函数诱导公式推导555524
1cos 1cos 552224sin sin
12415521(cos cos )225522sin 2sin
55
1121(cos cos )225522
x x
p p p p
p p
p p p p p p p p =+-++=
+-?++-=--=-24sin sin 255cos
cos 2552sin 2sin 55
p p
p p p p
=
?22
2c o s
c o s 12sin sin 551010
1
122
p p p p
-=--=-?=2222cos cos 12sin cos()5510210
12sin sin
1010(2sin sin 1)1010(2sin 1)(sin 1)
1010p p p p p
p p
p p
p p
-=---=--=-+-=
--+179--
科学技术创新2020.26
所以可得-（2sin
π
10
-1）（sin
π10
+1）=-（2sin
π10-1）（2sin π
10+1）4sin
π10
因为2sin π10-1≠0，进而得4（sin
π
10+1）sin π10=2sin π10
+1，
故4sin 2
π10+2sin π
10-1=0，至此，与第一种整体代换法而得方程2x 2+x-1=0有异曲同工之奇妙，把4sin 2π10=-2sin π
10+1代入*式得
这堂课启迪了学生的思维和智慧，教育我要深入备课，要备教材、备方法、备能力、备学生实际，认真探索“从已知中寻解答”这一课题。数学题是由已知条件和结论两部分组成，根据已知条件发出的信息，有明有暗，形成一个个知识点，从中筛选出有利于题解的点，融会贯通，由点形成线，再由线形成面，由面形成体，引发学生探索思维的火花，自然而然得到圆满的解答，用以下例子具体说明，
例：设函数y=f （x ）的定义域为R ，且对于任意x 1，x 2∈R ，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2），又当x>0，f （x ）<0，f （1）=-1
2
，求函数y=f （x ）在区间[-4，4]上的最大值和最小值。
题中函数y=f （x ）无解析式是抽象函数，已知定义域为R ，关于原点对称，也会想问此函数的值域，奇偶性、增减性和周期是什么？其中哪些对本题有用呢？由已知f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）……
**，则任意取x ，-x ∈R ，有f （x-x ）=f （x ）+f （-x ），推出f （0）=f （x ）+f （-x ），如果能知道f （0）=0，就可得f （x ）=-f （-x ）。由**得f （0+0）=f （0）+f （0），即f （0）=0，进而证得f （x ）是奇函数。又当x>0时，已知f （x ）<0，从这一条件中，能捕捉到什么有用的信息呢？可设坌x 1，x 2∈R ，且x 1>x 2，则x 1-x 2>0，有f （x 1-x 2）<0，又由**可得f （x 1-x 2）=f （x 1）+f （-x 2）<0，因为f （-x 2）=-f （x 2），所以f （x 1）-f （x 2）<0，即f （x 1）<f （x 2），由函数增减性定义可证得f （x ）在R 上单调递减，故f （x ）在区间[-4，4]上最大值为f （-4），最小值为f （4）。已知f （1）=
1
2
能否帮助求出f （4）和f （-4）呢？由**可知f （4）=f （2）+f （2）=2f （2）=2f （1+1）=2[f （1）+f （1）]=4f （1）=4×
1
2
=2，由奇偶性可知f （-4）=-f （4）=-2，这样从已知条件出发，经分析推导，使结论迎刃而解，学生不会觉得突然、陌生，反而觉得简单、
有趣。该教学面授方法，以把握教材的科学性、系统性、学生的可接受性为前提，挖掘教材内在知识、方法、能力上规律性的东西，确定与处理好教学重点、难点、关键为标准，达到预定的教学目的为根本，可以使课堂，使解题，
使学生的思维都提高到一个较高的水准，有利于数学教学的长效发展，
在课堂上值得推荐使用。
参考文献
[1]曾建国.数学解题策略选讲[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2011.
[2]叶立军.数学方法论[M].杭州：浙江大学出版社，2008.
[3]王月鹏.三角函数求值中增解的确定[J].商情，2012（49）：156.[4]周芳.例谈三角函数求值的常用方法[J].魅力中国，2011（17）：
163.
222(cos
cos )2sin
2555cos cos 552sin 522sin cos 2sin cos
55552sin
522sin 2sin cos cos 2sin sin 555105102sin 2sin
55
cos 4sin cos 1010104sin cos
101014sin (2sin
1)(2sin 1)1010104sin
10p p p p p p p p p
p p p p p
p p p p p p p p p p p p p
p -?-=
-=
--=
=-=
--+==-4sin 10p
*L L 2
14sin 1(2sin 1)21010cos
cos 55
4sin 4sin
1010
2sin
11024sin 10p p
p p
p p p
p ---+-===
=180--

版权声明：本站内容均来自互联网，仅供演示用，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系QQ:729038198，我们将在24小时内删除。