第2讲 二进制与十进制
 
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所谓数的进位制，指的是记载数目的一种规则。世界上大多数地区和民族均采用的是十进制计数法。在十进制计数法中，采用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数字表示任何十进制数，它遵循的原则是“逢十进一，退一当十”，任何一个十进制数N都可以表示为：，其中都只能取0，1，2，…，9中的数字，简记为。
类似的，对于在现代计算机运算技术中采用的二进制计数法，我们有以下的说明：在二进制计数法中，采用0和1 这两个数字表示任何二进制数，它遵循“逢二进一，退一当二”的原则。同样，任何一个二进制数N都可以表示为：，其中都只能取0和1，我们简记为。
 
重点·难点
二进制的四则运算是本讲的难点，它遵循“逢二进一，退一当二”的原则。这就要将它与十进制区分开来，利用二者的类似点进行计算。本讲的重点在于这两种进制数之间的互换，如何选取合适的方法是关键。
 
学法指导
（1）二进制数转换成十进制数：通过下式，可以直接计算其结果。
例如：，即
（2）十进制数转化成二进制数：我们一般用倒写余数法，即把这个十进制数用2除，记下余数，再用2除它的商，再记下余数，直到商为0为止。将所得余数自下而上依次排列起来，就
得到二进制数。
例如：化为二进制数。
因此
 
经典例题
［例1］有一个人拿着两只空瓶，其中一只可以容纳7斤水，另外一只可以容纳5斤水。现在要从池中取出6斤水。请问，此人应当怎样用这两只空瓶取回6斤水来？
 
思路剖析
本题是一个进制问题，容积为7斤的空瓶，可以装0斤、1斤、2斤……最多可以装7斤，再多装就需要“进位”（倒掉重装），这类似于八进制记数法。对容积为5斤的空瓶的情形，则类似于六进制记数法。
二进制转换为十进制例题要得到6斤水，先从算法上实现这一步。首先把6表示成5和7的加减运算式6=5+5+5+5-7-7然后在实践中实现这个算式，“+”表示装水，“-”表示倒水。
由于6=5+5+5+5-7-7，因此可以做如下操作：
（1）用容积为5斤的空瓶装满水，倒入容积为7斤的空瓶中，这时7斤瓶中有5斤水。
（2）再用容积为5斤的空瓶装满水，往容积为7斤的瓶中倒，直到注满为止。这时，容积为5斤的瓶中还剩3斤水，而7斤的瓶中装满了水，把水倒回水池中，使7斤瓶为空瓶。
（3）把5斤瓶中的3斤水倒入7斤瓶中，然后，用5斤瓶装满水继续注入7斤瓶中，直到注满为止。这时，5斤瓶中还剩一斤水，而7斤瓶中又一次装满，将7斤瓶中水倒回水池中，使7斤瓶为空瓶。
（4）将5斤瓶中剩下的1斤水倒入7斤瓶中。然后，用5斤瓶装满水继续注入7斤瓶中，此时7斤瓶中正好装了6斤水。
[例2]比较下列两组数的大小。
（1）与
（2）与
 
思路剖析
对两个不同进制的数，无法直接进行比较，因此我们必须将这两个数进行转化，使其处于同一进制里。由于别的进制化为十进制比较容易，因此我们采取将所有数均化为十进制的方法。
 
解答
（1）
即
由于
所以
（2）
即
即
由于
所以
[例3]一个自然数用五进制表示是三位数，用七进制表示是三位数，求这个自然数。
 
思路剖析
由五进制数化成的十进制数与由七进制数化成的十进制数是同一个数，即二者相等，由此得到一个关于a、b、c的方程，解这个方程便可求出这个自然数。
 
解答
由于这两个数应表示同一个自然数，因此得到
即12a=b+24c
依题意，a、b、c只能取0、1、2、3、4中的值，因为为三位数，所以a≠0，又因为b=12a-24c其中12a-24c可以被4整除，因此b必是4的倍数，b=0或4。
当b=4时，12a-24c=4即3a-6c=1，此方程无解；
当b=0时，12a-24c=0即a=2c，所以此方程有解a=2且c=1或a=4且c=2；
当a=2，b=0，c=1时，有和，在十进制数中应为；
当a=4，b=0，c=2时，有，在十进制数中应为。
答：这个自然数为51或102。
[例4]请判断下列算式是几进制数的乘法。
221×322=132212
 
思路剖析
对此类问题，必须仔细观察式子。本式有最大数3，所以这个算式运算应是在四进制或四进制以上的进制中进行的。

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