4.2在下列情况下求解递归关系式
T(n)=
当n=2k g(n)= O(1)和f(n)= O(n)；
n=2k g(n)= O(1)和f(n)= O(1)。
解: T(n)=T(2k)=2 T(2k-1)+f(2k)=2(2 T(2k-2)+f(2k-1)) +f(2k)
=22T(2k-2)+21 f(2k-1)+ f(2k)
=……
=2kT(1)+2k-1f(2)+2k-2f(22)+…+20f(2k)
=2kg(n)+ 2k-1f(2)+2k-2f(22)+…+20f(2k)
当g(n)= O(1)和f(n)= O(n)时，
不妨设g(n)=a，f(n)=bn，a，b为正常数。则
T(n)=T(2k)= 2ka+ 2k-1*2b+2k-2*22b+…+20*2kb =2ka+kb2k
=an+bnlog2n= O(nlog2n)
当g(n)= O(1)和f(n)= O(1)时，
不妨设g(n)=c，f(n)=d，c，d为正常数。则
T(n)=T(2k)=c2k+ 2k-1d+2k-2d+…+20d=c2k+d(2k-1)
=(c+d)n-d= O(n)
4.3根据教材中所给出的二分检索策略，写一个二分检索的递归过程。
Procedure BINSRCH(A, low, high, x, j)
integer mid
if low≤high then
mid←
if x=A(mid) then j←mid; endif
if x>A(mid) then BINSRCH(A, mid+1, high, x, j); endif
if x<A(mid) then BINSRCH(A, low, mid-1, x, j); endif
else j←0; endif
end BINSRCH
4.5作一个“三分”检索算法。它首先检查n/3处的元素是否等于某个x的值，然后检查2n/3处的元素；这样，或者到x，或者把集合缩小到原来的1/3。分析此算法在各种情况下的计算复杂度。
Procedure ThriSearch(A, x, n, j)
integer low, high, p1, p2
low←1; high←n
while low≤high do
p1← ; p2←
case
:x=A(p1): j←p1; return
:x=A(p2): j←p2; return
:x<A(p1): high←p1-1
:x>A(p2): low←p2+1
:else: low←p1+1; high←p2-1
end case
repeat
j←0
end ThriSearch
T(n)=
g(n)= O(1) f(n)= O(1)
成功:
O(1), O(log3(n)), O(log3(n))
最好， 平均， 最坏
失败:
O(log3(n)), O(log3(n)), O(log3(n))
最好， 平均， 最坏
4.6对于含有n个内部结点的二元树，证明E=I+2n，其中，E，I分别为外部和内部路径长度。
证明：数学归纳法
①当n=1时，易知E=2，I=0，所以E=I+2n成立；
②假设n≤k(k>0)时，E=I+2n成立；
③则当n=k+1时，不妨假定到某个内结点x为叶结点（根据二元扩展树的定义，一定存在这样的结点x，且设该结点的层数为h），将结点x及其左右子结点（外结点）从原树中摘除，生成新二元扩展树。此时新二元扩展树内部结点为k个，则满足Ek=Ik+2k，考察原树的外部路径长度为Ek+1= Ek-（h-1）+2h，内部路径长度为Ik+1=Ik+（h-1），所以Ek+1= Ik+2k+h+1= Ik+1+2k+2= Ik+1+2(k+1)，
综合①②③知命题成立。
4.10过程MERGESORT的最坏情况时间是O(nlogn)，它的最好情况时间是什么？能说归并分
类的时间是Θ(nlogn)吗？
最好情况：是对有序文件进行排序。
分析：在此情况下归并的次数不会发生变化----log(n)次
归并中比较的次数会发生变化（两个长n/2序列归并）
最坏情况
两个序列交错大小，需要比较n-1次
最好情况
一个序列完全大于/小于另一个序列，比较n/2次
差异都是线性的，不改变复杂性的阶
因此最好情况也是nlogn, 平均复杂度nlogn。
可以说归并分类的时间是Θ(nlogn)
4.11写一个“由底向上”的归并分类算法，从而取消对栈空间的利用。
答：见《数据结构》
算法MPass（R，n，1ength．X）
MP1 [初始化]
iundefined1 ．
MP2 [合并相邻的两个长度为length的子文件]
WHILE i ≤ n – 2*length + 1 DO
（Merge（R，i，i＋length–l，i＋2*length–1．X）.
iundefinedi＋2*length ） ．
MP3 [处理余留的长度小于2*length的子文件]
IF i+length–1 < n
THEN Merge（R，i，i+length–1，n. X）
ELSE FOR j = i TO n DO Xj←Rj ▌
算法MSort(R，n) // 直接两路合并排序算法，X是辅助文件，其记录结构与R相同
MS1 [初始化]
lengthundefined1 ．
MS2 [交替合并]
WHILE length < n DO
（MPass（R，n，length．X）.
lengthundefined2*length
if length > n
then FOR j = 1 TO n DO Rj←Xj
else MPass（X，n，length．R）.
lengthundefined2*length）
endif
)
4.23通过手算证明（4.9）和(4.10)式确实能得到C11,C12,C21和C22的正确值。
P=(A11+A22)(B11+B22) T=(A11+A12)B22
Q=(A21+A22)B11 U=(A21-A11)(B11+B12)
R=A11(B12-B22) V=(A12-A22)(B21+B22)
S=A22(B21-B11)
C11=P+S-T+V
=(A11+A22)(B11+B22) +A22(B21-B11) -(A11+A12)B22 +(A12-A22)(B21+B22)
=A11B11+A22B11+A11B22+A22B22+A22B21
-A22B11-A11B22-A12B22+A12B21+A12B22-A22B21-A22B22
=A11B11 +A12B21
C12=R+T
= A11B12-A11B22 +A11B22+A12B22
= A11B12 +A12B22
C21=Q+S
= A21B11+A22B11 +A22B21-A22B11
= A21B11 +A22B21
C22=P+R-Q+U
=(A11+A22)(B11+B22)+A11(B12+B22)-(A21+A22)B11 +(A21-A11)(B11+B12)
=A11B11+A22B11+A11B22+A22B22+A11B12-A11B22-A21B11-A22B11+A21B11+A21B12
-A11B11-A11B12
=A22B22+A21B12
5.2 求以下情况背包问题的最优解，n=7，m=15，=(10,5,15,7,6,18,3)和=(2,3,5,7,1,4,1)。
将以上数据情况的背包问题记为I。设FG(I)是物品按的非增次序输入时由GREEDY-KNAPSACK所生成的解，FO(I)是一个最优解。问FO(I)/ FG(I)是多少?
当物品按的非降次序输入时，重复的讨论。
解： 按照/的非增序可得
数据结构与算法第二版课后题答案(/，/，/，/，/，/，/)
= (6,5,9/2,3,3,5/3,1)
W的次序为(1,2,4,5,1,3,7),解为(1,1,1,1,1,2/3,0)
所以最优解为：（1,2/3,1,0,1,1,1）
FO(I)=166/3
按照Pi的非增次序输入时得到
(,,,,,,)= (18,15,10,7,6,5,3)，
对应的(,,,,,,)= (4,5,2,7,1,3,1)
解为(1,1,1,4/7,0,0,0)
所以FG(I)的解为（1,0,1,4/7,0,1,0）
FG(I)=47，所以FO(I)/ FG(I)=166/141.
按照的非降次序输入时得到
(,,,,,,)=(1,1,2,3,4,5,7)
相应的(,,,,,,)=(6,3,10,5,18,15,7)
解为(1,1,1,1,1,4/5,0)
则FW(I)的解为（1,1,4/5,0,1,1,1）
FW(I)=54，所以FO(I)/ FW(I)=83/81.
5.3．（0/1背包问题）如果将5.3节讨论的背包问题修改成
极大化
约束条件 xi=0或1 1≤i≤n
这种背包问题称为0/1背包问题。它要求物品或者整件装入背包或者整件不装入。求解此问题的一种贪心策略是：按/的非增次序考虑这些物品，只要正被考虑的物品能装进的就将其装入背包。证明这种策略不一定能得到最优解。
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