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数学专题8    概率与统计
[专题内容概述]
1、 概率与统计求解的基本方法归纳梳理；
2、三个基本问题（离散型随机变量的分布列及期望与方差的求解问题；抽样方法与总体分布估计计算问题；正态分布与线性回归计算问题）的解决方法与途径；
3、 达标演练（以近三年高考与高三模拟考试中涉及的考题为主体，进行基础达标训练）。
[专题涉及知识点]
离散型随机变量的分布列及其性质；离散型随机变量的期望与方差；三种抽样方法的特点及其应用；用样本频率分布估计总体分布；频率分布直方图的识图和应用；正态曲线的性质，标准正态分布及应用。
[概率与统计讲义]
一、 知识要点归纳梳理：
本专题所涉及的知识点是近几年高考命题的热点之一，是新增内容的重点考查对象。在高考中，命题的重点主要以应用题为背景，以解答题的形式考查离散型随机变量的分布列、期望与方差；其中抽样方法、频率分布直方图的识图和应用、标准正态分布及应用等知识点往往以选择题、填空题形式进行考查。学习中注意与排列、组合、二项式定理和概率等知识的联系。
要点1 、对于离散型随机变量的分布列、期望与方差的学习，主要注意：
1 离散型随机变量的分布列：
（1）设离散型随机变量可能取的值为，取每一个值的概率为=，则称下表：
…
…
…
…
为随机变量的分布列。
（2）分布列的两个性质：
◆；
◆（）。
（3）离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。
[范例1]已知随机变量的分布列为
-2
-1
0
1
2
3
m
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求集合的真子集B，使取最大值；
（Ⅳ）求随机变量的分布列；
（Ⅴ）求实数的取值范围，使。
（4）关于离散型随机变量的分布列的求解步骤：
◆写出随机变量的所有可能取值（）；
◆求出取各值的概率；
◆列出概率分布表，并用性质检验。
[范例2]某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽。求耗用子弹数的分布列。
（5）常见的离散型随机变量的分布：
◆二点分布：
0
1
1-P
P
◆二项分布：
在n次独立重复试验中，事件A发生的次数是一个随机变量，其所有可能取的值为0，1，2，3，…,n，且，分布列为：
0
1
…
k
…
n
称这样的随机变量服从二项分布,记作～。
◆几何分布：
在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所做试验的次数是一个取值为正整数的离散型随机变量，其所有可能取的值为1，2，3，…,k,…,且,
分布列为:
1
2
3
…
k
…
P
…
…
称这样的随机变量服从几何分布。
②离散型随机变量的期望与方差：
（1）离散型随机变量的期望与方差的概念：
离散型随机变量的分布列为:
…
…
…
…
则称为的数学期望,代表取值的平均数、均值。
频率分布直方图和条形图的区别称为的方差，代表对的平均偏离程度，为的标准差，记作。
（2）期望与方差的性质：
◆（为常数）；
◆（为常数）；
◆；
◆；
（3）特殊分布列的期望、方差：
◆若～0-1分布，则；
◆若～，则；
◆若～几何分布，则。
[范例3]已知的分布列为，k=1，2，3，4，求。
[范例4]随机变量～，那么的值为
    （A）64        （B）256      （C）259      （D）320
[范例5]某射手射击目标，直到击中才能停止，如果该射手击中目标的概率为0.7，求该射手射击次数的期望和方差。
[范例6]某大厦的一部电梯从低层出发后只能在第18,19,20层可以停靠。若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求：
（Ⅰ）随机变量的分布列；
（Ⅱ）随机变量的期望。
    [范例7]A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是，B队队员是，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：
对阵队员
队队员胜的概率
队队员负的概率
对
对
对
现按表中对阵方式出场，没场胜队得1分，负队得0分，设队、队最后所得总分分别为。
（Ⅰ）求的概率分布；
（Ⅱ）求、。
要点2、对于抽样方法的学习，主要注意：
1 正确理解简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的概念及特点、方法：

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