第四章 指数函数与对数函数
4.1 指数
知识点一　n次方根及根式
如果x2＝4，x3＝8中的x可以是多少？   
知识梳理　(1)n次方根
定义
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N＋.
个
数
n是奇数
a＞0
x＞0
x仅有一个值，记为
a＜0
x＜0
n是偶数
a＞0
x有两个值，且互为相反数，记为±
a＜0
x不存在
,
(2)根式
①定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
②性质：(n＞1，且n∈N＋)
(ⅰ)()n＝a.
(ⅱ)＝
知识点二　指数幂及运算
知识梳理　(1)分数指数幂的意义
①规定正数的正分数指数幂的意义是：
a＝(a＞0，m，n∈N＋，且n＞1)．
②规定正数的负分数指数幂的意义是：
a－＝＝(a＞0，m，n∈N＋，且n＞1)．
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的运算性质
①aras＝ar＋s；
②(ar)s＝ars；
③(ab)r＝arbr.
(3)无理数指数幂
无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．
解题方法探究
探究一　利用根式的性质化简求值
[例1]　(1)化简a＋的结果是(  )
A．1            B．2a－1
C．1或2a－1    D．0
(2)当a、b∈R时，下列各式总能成立的是(  )
A．(－)6＝指数函数定义a－b  B.＝a2＋b2
C.－＝a－b  D.＝a＋b
(3)设－3＜x＜3，求－的值．
[解析]　(1)a＋＝a＋|1－a|＝1或2a－1，故选C.
(2)取a＝0，b＝1，A不成立．
取a＝0，b＝－1，C、D不成立．
∵a2＋b2≥0，∴B正确，故选B.
(3)原式＝－
＝|x－1|－|x＋3|.
∵－3＜x＜3，
∴当－3＜x＜1时，
原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；
当1≤x＜3时，
原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4，
∴原式＝
[答案]　(1)C　(2)B　(3)见解析
(1)开偶次方根时，往往涉及绝对值问题．
(2)在含有多个绝对值的式子中，常利用零点分段法，结合数轴完成，去绝对值，如图所示：
从而把数轴分成(－∞，－3)，[－3,1)，[1，＋∞)三段来研究．由于－3＜x＜3，因此只研究(－3,1)及[1,3)两个区间便可．
探究二　根式与分数幂的转化
[例2]　用分数指数幂形式表示下列各式(式中a>0)：
(1)a2·；(2)a3·；(3) ；(4).
[解析]　(1)a2·＝a2·a＝a2＋＝a.
(2)a3·＝a3·a＝a3＋＝a.
(3) ＝(a·a)＝(a)＝a.
(4)＝＝＝＝＝y＝y.
(1)当所求根式含有多重根号时，要按照由里向外用分数指数幂写出，然后借助运算性质化简．
(2)化简过程中，要明确字母的范围，以防错解．
探究三　指数幂的运算
[例3]　计算：(1)[125＋－＋343]；
(2)－.
[解析]　(1)原式＝[(53)＋(2－4)－＋(73)]＝(52＋22＋7)＝36＝6.
(2)原式＝－＝
－＝
－＝－＝

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