指数函数教案
一、指数的性质（一）整数指数幂
1．整数指数幂概念：          
                 
2．整数指数幂的运算性质：（1）    （2）
（3）
其中，    ．
3．的次方根的概念
一般地，如果一个数的次方等于，那么这个数叫做的次方根，
即： 若，则叫做的次方根，
      例如：27的3次方根，  的3次方根，
              32的5次方根，  的5次方根
说明：①若是奇数，则的次方根记作； 若则，若则；
②若是偶数，且则的正的次方根记作，的负的次方根，记作：；（例如：8的平方根  16的4次方根）
    ③若是偶数，且则没意义，即负数没有偶次方根；
    ④      ∴；
⑤式子叫根式，叫根指数，叫被开方数。  ∴．
4．的次方根的性质
一般地，若是奇数，则； 若是偶数，则．
（2）分数指数幂
1．分数指数幂：      
即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；
  幂的运算性质（2）对分数指数幂也适用，
例如：若，则，， ∴  ．
即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。
规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是；
    （2）正数的负分数指数幂的意义是．
2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用
即   
说明：（1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用；
    （2）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义。
二、指数函数1．指数函数定义：
一般地，函数（且）叫做指数函数，其中是自变量，函数定义域是．
2．指数函数在底数及这两种情况下的图象和性质：
图象
性质
（1）定义域：
（2）值域：
（3）过点，即时
（4）在上是增函数
（4）在上是减函数
三、对数的性质
1．对数定义：一般地，如果（）的次幂等于N, 就是，那么数 b叫做a为底 N的对数，记作，a叫做对数的底数，N叫做真数。
即， 
指数函数定义
指数式
底数
幂
指数
对数式
对数的底数
真数
对数
说明：1．在指数式中幂N > 0，∴在对数式中，真数N > 0．（负数与零没有对数）
2．对任意且,  都有   ∴，同样：．
3．如果把中的写成， 则有（对数恒等式）．
2．对数式与指数式的互换
例如：              
           
3．介绍两种特殊的对数：
①常用对数：以10作底    写成 
②自然对数：以作底为无理数， = 2.71828…… ，   写成  ．
4．对数的运算性质：
如果  a > 0 ， a 1， M > 0 ，N > 0，  那么
（1）；  （2）；
（3）．
5．换底公式： ( a > 0 , a 1 ；)
证明：设，则，
两边取以为底的对数得：，∴，
从而得： ，    ∴．
四、对数函数
1．对数函数的定义：函数 叫做对数函数。2．对数函数的性质：
（1）定义域、值域：对数函数的定义域为，值域为．
（2）图象：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于的对称图形，即可获得。
同样：也分与两种情况归纳，以（图1）与（图2）为例。
                         
（3）对数函数性质列表：
图
象
   
性
质
（1）定义域：
（2）值域：
（3）过点，即当时，
（4）在（0，+∞）上是增函数
（4）在上是减函数

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