第1课时　指数函数的概念、图象与性质
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．(重点、难点)
2．能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质．(重点)
1.通过学习指数函数的图象，培养直观想象的数学素养．
2．借助指数函数的定义域、值域的求法，培养逻辑推理素养.
1．指数函数的概念
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
2．指数函数的图象和性质
a的范围
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
过定点
(0,1)，即当x＝0时，y＝1
单调性
在R上是增函数
在R上是减函数
奇偶性
非奇非偶函数
对称性
函数y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称
思考1：指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于什么？
提示：指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于字母a.当a>1时，图象具有上升趋势；当0<a<1时，图象具有下降趋势．
思考2：：指数函数值随自变量有怎样的变化规律？
提示：指数函数值随自变量的变化规律．
1．下列函数一定是指数函数的是(  )
A．y＝2x＋1      B．y＝x3
C．y＝3·2x      D．y＝3－x
D　[由指数函数的定义可知D正确．]
2．函数y＝3－x的图象是(  )
A　    B　      C      D
B　[∵y＝3－x＝x，∴B选项正确．]指数函数定义
3．若指数函数f(x)的图象过点(3,8)，则f(x)的解析式为(  )
A．f(x)＝x3      B．f(x)＝2x
C．f(x)＝x      D．f(x)＝x
B　[设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则由f(3)＝8得
a3＝8，∴a＝2，∴f(x)＝2x，故选B.]
4．函数y＝ax(a>0且a≠1)在R上是增函数，则a的取值范围是________．
(1，＋∞)　[结合指数函数的性质可知，若y＝ax(a>0且a≠1)在R上是增函数，则a>1.]
指数函数的概念
【例1】　(1)下列函数中，是指数函数的个数是(  )
①y＝(－8)x；②y＝2x2－1；③y＝ax；
④y＝2·3x.
A．1        B．2
C．3      D．0
(2)已知函数f(x)为指数函数，且f＝，则f(－2)＝________.
(1)D　(2)　[(1)①中底数－8<0，所以不是指数函数；
②中指数不是自变量x，而是x的函数，
所以不是指数函数；
③中底数a，只有规定a>0且a≠1时，才是指数函数；
④中3x前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数，故选D.
(2)设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，由f＝得a－＝，所以a＝3，又f(－2)＝a－2，所以f(－2)＝3－2＝.]
1．判断一个函数是否为指数函数，要牢牢抓住三点：
(1)底数是大于0且不等于1的常数；
(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上；
(3)ax的系数必须为1.
2．求指数函数的解析式常用待定系数法．
1．已知函数f(x)＝(2a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围是________．
∪(1，＋∞)　[由题意可知解得a>，且a≠1，
所以实数a的取值范围是∪(1，＋∞)．]
指数函数的图象的应用
【例2】　(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(  )
A．a>1，b<0      B．a>1，b>0
C．0<a<1，b>0      D．0<a<1，b<0
(2)函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．
(1)D　(2)(3,4)　[(1)由于f(x)的图象单调递减，所以0<a<1，
又0<f(0)<1，所以0<a－b<1＝a0，即－b>0，b<0，故选D.
(2)令x－3＝0得x＝3，此时y＝4.故函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点(3,4)．]
指数函数图象问题的处理技巧
(1)抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点.
(2)利用图象变换，如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移).
(3)利用函数的奇偶性与单调性.奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势.
2．已知f(x)＝2x的图象，指出下列函数的图象是由y＝f(x)的图象通过怎样的变化得到：
(1)y＝2x＋1；(2)y＝2x－1；(3)y＝2x＋1；
(4)y＝2－x；(5)y＝2|x|.
[解]　(1)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向左平移1个单位得到．
(2)y＝2x－1的图象是由y＝2x的图象向右平移1个单位得到．
(3)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位得到．
(4)∵y＝2－x与y＝2x的图象关于y轴对称，∴作y＝2x的图象关于y轴的对称图形便可得到y＝2－x的图象．
(5)∵y＝2|x|为偶函数，故其图象关于y轴对称，故先作出当x≥0时，y＝2x的图象，再作关于y轴的对称图形，即可得到y＝2|x|的图象．]
指数函数的定义域、值域问题
[探究问题]
1．函数y＝2x2＋1的定义域与f(x)＝x2＋1的定义域什么关系？
提示：定义域相同．
2．如何求y＝2x2＋1的值域？
提示：可先令t＝x2＋1，则易求得t的取值范围为[1，＋∞)，又y＝2t在[1，＋∞)上是单调递增
函数，故2t≥2，所以y＝2x2＋1的值域为[2，＋∞)．
【例3】　求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝；
(2)y＝x2－2x－3；
(3)y＝4x＋2x＋1＋2.
[思路点拨]　―→
[解]　(1)要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30，因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0，故函数y＝的定义域为(－∞，0]．
因为x≤0，所以0<3x≤1，所以0≤1－3x<1，

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