2指数与指数函数-拔⾼-讲义
指数与指数函数
知识讲解
⼀、指数运算
1.根式的概念：
①定义：若⼀个数的n 次⽅等于),1(*
∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次⽅根．即若a x n =，
则x 称a 的n 次⽅根)1*
∈>N n n 且，
1）当n 为奇数时，n a 的次⽅根记作n a ；
2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次⽅根，⽽正数a 有两个n 次⽅根且互为相反数，记作)0(>±a a n ．
②性质：1）a a n n =)(；
2）当n 为奇数时，a a n n =；
3）当n 为偶数时，?
<-≥==)0()0(||a a a a a a n
n ．
2.幂的有关概念
①规定：1）∈=n a a a a n
(ΛN*；
N 个 2）)0(10≠=a a ； 3）∈=
-p a
a
p p
(1
Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N* 且)1>n ．②性质：1）r a a a a s
r s r ,0(>=?+、∈s Q ）；
2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）；
3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）．注：上述性质对r s R ∈、均适⽤．
⼆、指数函数
1.定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数，
1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞；
3）当10<a 时函数为增函数．
2.函数图像：
1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第⼀、⼆象限；
2）指数函数都以x 轴为渐近线（当10<a 时，图象向右⽆限接近x 轴）；指数函数在同⼀直⾓坐标系中的图像的相对位置与底数⼤⼩的关系是：在y 轴右侧，图像从上到下相应的底数由⼤变⼩，在y 轴的左侧，图像从下到上相应的底数由⼤变⼩．
指数函数定义f x () =
12
( = 2x
3）⽆奇偶性，是⾮奇⾮偶函数，但对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x x a y a y -==与的
图象关于y 轴对称，x x y a y a ==-与的图象关于x 轴对称；log x
a y a y x ==与的图象关于直
线y x =对称．
4）有两个特殊点：零点(0,1)，不变点(1,)a ．
5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=?-=
3函数值的变化特征：
典型例题
⼀．选择题（共9⼩题）
1．（2013秋?⿎楼区校级期末）已知函数f（x）在R上是单调函数，且满⾜对任意x∈R，都有f[f（x）﹣3x]=4，则f（4）的值是（）
A．85B．82C．80D．76
【解答】解：设f（x）﹣3x=t．
则f（x）=3x+t，且f（t）=4，
令x=t，
则f（t）=3t+t=4，
∵f（x）在R上是单调函数，
∴解得t=1，
∴f（x）=3x+1，
∴f（4）=34+1=82，
故选：B．
2．（2017春?宁波期末）已知1＜a＜b，m=a b﹣1，n=b a﹣1，则m，n的⼤⼩关系为（）
A．m＜n
B．m=n
C．m＞n
D．m，n的⼤⼩关系不确定，与a，b的取值有关
【解答】解：∵1＜a ＜b ，∴b ﹣1＞a ﹣1＞0， m=a b ﹣1，n=b a ﹣1，则m ＞n ，故选：C ．
3．（2017秋?惠民县期中）函数y=a |x |（a ＞1）图象是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：根据指数函数的性质可得y=a x （a ＞1）递增函数，
函数y=a |x |（a ＞1）的图象是y=a x （a ＞1）的图象去掉y 轴左侧图象，把右侧图象关于y 轴对称可以．故选：A ．4．（2015秋?顺义区期末）设函数f （x ）=|2x ﹣1|，c ＜b ＜a ，且f （c ）＞f （a ）＞f （b ），则2a +2c 与2的⼤⼩关系是（） A ．2a +2c ＞2 B ．2a +2c ≥2 C ．2a +2c ≤2 D ．2a +2c ＜2 【解答】解：f （x ）=|2x ﹣1|={2x ?1，x ≥01?2x
，x ＜0，
作出f （x ）=|2x ﹣1|的图象如图所⽰，
由图可知，要使c ＜b ＜a 且f （c ）＞f （a ）＞f （b ）成⽴，则有c ＜0且a ＞0，故必有2c ＜1且2a ＞1，
⼜f （c ）﹣f （a ）＞0，即为1﹣2c ﹣（2a ﹣1）＞0，∴2a +2c ＜2．故选：D ．
5．（2015秋?和平区期中）若函数y=a x ﹣（b +1）（a ＞0，a ≠1）的图象在第⼀、三、四象限，则有（） A ．a ＞1且b ＜1
B ．a ＞1且b ＞0
C ．0＜a ＜1且b ＞0
D ．0＜a ＜1且b ＜0
【解答】解：∵函数y=a x ﹣（b +1）（a ＞0，a ≠1）的图象在第⼀、三、四象限，∴根据图象的性质可得：a ＞1，a 0﹣b ﹣1＜0，即a ＞1，b ＞0，故选：B ．
6．（2014?埇桥区校级学业考试）若指数函数y=a x （0＜a ＜1）在[﹣1，1]上的最⼤值与最⼩值的差是1，则底数a 为（）
A ．1?√52
B ．
1+√52 C ．1+√5
4
D ．
1+√5
4
【解答】解：∵0＜a ＜1，y=a x 在[﹣1，1]上单调递减，
故y max=1
a
，y min=a，
∵数函数y=a x（0＜a＜1）在[﹣1，1]上的最⼤值与最⼩值的差是1，
∴1
a ?a=1，解得a=
1+√5
2
，
故选：B．
7．（2016?宜宾模拟）已知函数f（x）=x﹣4+
9
x+1
，
x∈（0，4），当x=a时，f（x）
取得最⼩值b，则函数g（x）=a|x+b|的图象为（）
A．B．C．D．【解答】解：∵x∈（0，4），
∴x+1＞1
∴f（x）=x﹣4+
9
x+1
=x+1+
9
x+1
﹣5≥2√9x?1?(x?1)﹣5=1，
当且仅当x=2时取等号，此时函数有最⼩值1∴a=2，b=1，
此时g（x）=2|x+1|={2x+1，x≥?1 (12)x，x＜?1
，
此函数可以看着函数y={2x，x≥0
(12)x，x＜0
的图象向左平移1个单位
结合指数函数的图象及选项可知A正确
故选：A．
8．（2016秋?龙岩期末）已知函数f（x）=a x﹣1（a＞0，且a≠1）满⾜f（1）＞1，若函数g（x）=f（x+1）﹣4的图象不过第⼆象限，则a的取值范围是（）
A．（2，+∞）B．（2，5]C．（1，2）D．（1，5]
【解答】解：∵f（1）＞1，
∴a﹣1＞1，
即a＞2
∵函数g（x）=f（x+1）﹣4的图象不过第⼆象限，
∴g（0）=a1﹣1﹣4≤0，
∴a≤5，
∴a的取值范围是（2，5]．
故选：B．
9．（2012?宣威市⼀模）已知实数a，b满⾜等式2a=3b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；
⑤a=b．其中可能成⽴的关系式有（）
A．①②③B．①②⑤C．①③⑤D．③④⑤
【解答】解：令f（x）=2x和g（x）=3x，2a=3b即f（a）=g（b），如图所⽰
由图象可知①②⑤正确，
故选：B．
⼆．填空题（共3⼩题）
10．（2017秋?通许县校级期中）若函数f （x ）=a x （a ＞0，a ≠1﹚在区间[﹣1，2]上的最⼤值为4，最⼩值为m ，且函数g （x ）=（1﹣4m ）x 在R 内是单调增函数，则a=
1
4
．【解答】解：若函数g （x ）=（1﹣4m ）x 在R 内是单调增函数，
则1﹣4m ＞0，则m ＜1
4．
若a ＞1，∵函数f （x ）=a x （a ＞0，a ≠1﹚在区间[﹣1，2]上的最⼤值为4，最⼩值为m ，∴a 2=4，m=a ?1
=1
a 解得a=2，m=12
不满⾜m ＜14．
若0＜a ＜1，∵函数f （x ）=a x （a ＞0，a ≠1﹚在区间[﹣1，2]上的最⼤值为4，最⼩值为m ，∴a ?1
=1a =4，m=a 2，解得a=14，m=116
满⾜m ＜14．∴a=1
4，
故答案为：1
4
．
11．（2017春?浙江期中）设函数f （x ）={x 2，x ＜0
x 2+2x ，x ≥0，则f （2）= 0 ．若
f （f （x ））≥9，则实数x 的取值范围是 [3，+∞）．【解答】解：f （2）=﹣22+2×2=0，
当x ≥0时，f （x ）=﹣x 2+2x=﹣（x ﹣1）2+1≤﹣1，∵f （f （x ））≥9，
∴f（x）≤﹣3，
∴﹣x2+2x≤﹣3且x＞0，解得x≥3，
故答案为：0，[3，+∞）
12．（2017?保定⼀模）函数y=a x﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点在直线mx+ny=1上，则mn的最⼤值为1
4
．
【解答】解：因为函数y=a x﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（1，1），⼜点在直线mx+ny=1上，所以m+n=1，

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