指数运算和指数函数
一、知识点
1.根式的性质
（1）当n 为奇数时，有a a n
n
= （2）当n 为偶数时，有⎩
⎨⎧<-≥==)0(,)
0(,a a a a a a n
n
（3）负数没有偶次方根          （4）零的任何正次方根都是零
2.幂的有关概念
(1)正整数指数幂：)(.............*∈⋅⋅=N n a a a a a n
n 4434421
(2)零指数幂)0(10
≠=a a      (3)负整数指数幂  ).0(1
*∈≠=
-N p a a a p
p  (4)正分数指数幂  )1,,,0(>*∈>=n N n m a a a
n m n
m 且
(5)负分数指数幂  n
m n
m a
a
1=
-
)1,,,0(>*∈>n N n m a 且
(6)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义 3.有理指数幂的运算性质 (1)),,0(,Q s r a a
a a s
r s
r
∈>=⋅+        (2)),,0(,)(Q s r a a a rs s r ∈>=
(3)),0,0(,)(Q r b a a a ab s
r
r
∈>>⋅=
4．指数函数定义：函数)10(≠>=a a a y x
且叫做指数函数。 5. 指数函数的图象和性质
x a y =
0 < a  < 1 a  > 1
图    象
性 质
定义域 R 值域
(0 , +∞)
定点
过定点（0，1），即x  = 0时，y  = 1
（1）a  > 1，当x  > 0时，y  > 1；当x  < 0时，0 < y  < 1。 （2）0 < a  < 1，当x  > 0时，0 < y  < 1；当x  < 0时，y  > 1。
单调性 在R 上是减函数 在R 上是增函数
对称性
x y a =和x y a -=关于y 轴对称
二、指数函数底数变化与图像分布规律 （1）
① x
y a =  ②x
y b =  ③x y c =  ④x y d =
则：0＜b ＜a ＜1＜d ＜c
又即：x ∈(0,+∞)时，x x x x b a d c <<<  （底大幂大）      x ∈(－∞,0)时，x x x x b a d c >>> （2）特殊函数
11
2,3,
(),
()23
x x x x y y y y ====的图像：
三、指数式大小比较方法
(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法
比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：
①若0A B A B ->⇔>；0A B A B -<⇔<；0A B A B -=⇔=；
②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断1A B >，或1A
B
<；即可． 四、典型例题
类型一、指数函数的概念
例1．函数2
(33)x
y a a a =-+是指数函数，求a 的值． 【答案】2
【解析】由2
(33)x
y a a a =-+是指数函数，
可得2331,0,1,
a a a a ⎧-+=⎨>≠⎩且解得12,
01,a a a a ==⎧⎨>≠⎩或且，所以2a =．
举一反三：
【变式1】指出下列函数哪些是指数函数？
（1）4x
y =；（2）4
y x =；（3）4x
y =-；（4）(4)x
y =-； （5）1
(21)(1)2
x
y a a a =->
≠且；（6）4x y -=． 【答案】（1）（5）（6）
【解析】（1）（5）（6）为指数函数．其中（6）4x
y -==14x
⎛⎫
⎪⎝⎭
，符合指数函数的定
义，而（2）中底数x 不是常数，而4不是变数；（3）是-1与指数函数4x 的乘积；（4）中底数40-<，所以不是指数函数．
类型二、函数的定义域、值域
例2．求下列函数的定义域、值域.
(1)313x x
y =+；(2)y=4x -2x
+1；(4)y =(a 为大于1的常数)
【答案】（1）R ，(0，1)；（2）R [
+∞,4
3
)；        （3）1,2⎡⎫
-
+∞⎪⎢⎣⎭
[)0,+∞；（4）[1，a)∪(a ，+∞) 【解析】(1)函数的定义域为R (∵对一切x ∈R ，3x
≠-1).
∵ (13)1111313
x x x
y +-==-++，又∵ 3x >0， 1+3x
>1， ∴ 10113x <
<+，  ∴ 1
1013x
-<-<+，
∴ 1
01113
x
<-<+， ∴值域为(0，1). (2)定义域为R ，4
3)212(12)2(22+-=+-=x
x x y ，∵ 2x >0，  ∴ 212=x  即 x=-1
时，y 取最小值43，同时y 可以取一切大于43的实数，∴ 值域为[+∞,4
3
).
(3)要使函数有意义可得到不等式21
1309
x --≥，
即21233x --≥，又函数3x y =是增函数，所以212x -≥-，即12x ≥-
，即1,2⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
，值域是[)0,+∞. (4)∵
01
1
112≥+-=-+x x x x    ∴ 定义域为(-∞，-1)∪[1，+∞)， 又∵
11
1
011≠+-≥+-x x x x 且，∴ a a
y a y x x
x x
≠=≥=-+-+11
211
21且， ∴值域为[1，指数函数定义
a)∪(a ，+∞).
【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性；第(3)小题中值域切记不要漏掉y>0的条件，第(4)小题中
11
2
111≠+-=+-x x x 不能遗漏.
举一反三：
【变式1】求下列函数的定义域： (1)2-1
2x y =
(2)y =
(3)y =
0,1)y a a =>≠
【答案】（1）R ；（2）(]-3∞，；（3）[)0,+∞；（4）a>1时，(]-0∞，；0<a<1时，[)0+∞，
【解析】(1)R
(2)要使原式有意义，需满足3-x ≥0，即3x ≤，即(]-3∞，．
(3) 为使得原函数有意义，需满足2x
-1≥0，即2x
≥1，故x ≥0，即[)0,+∞
(4) 为使得原函数有意义，需满足10x
a -≥，即1x
a ≤，所以a>1时，(]-0∞，；0<a<1
时，[)0+∞，.
【总结升华】本题中解不等式的依据主要是指数函数的单调性，根据所给的同底指数幂的大小关系，结合单调性来判断指数的大小关系.
类型三、指数函数的单调性及其应用
例3．讨论函数221()3x x
f x -⎛⎫= ⎪
⎝⎭
的单调性，并求其值域．
【思路点拨】对于x ∈R ，22103x x
-⎛⎫> ⎪
⎝⎭
恒成立，因此可以通过作商讨论函数()f x 的单
调区间．此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数，因此可以逐层讨论它的单调性，综合得到结果．
【答案】函数()f x 在区间（－∞，1）上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数  （0，3]
【解析】
解法一：∵函数()f x 的定义域为（－∞，+∞），设x 1、x 2∈（－∞，+∞）且有x 1＜x 2，
∴222
221()3x x f x -⎛⎫= ⎪
⎝⎭
，211
211()3x x f x -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，
2
22
22
212121212
1122()()(2)2211()113()3313x x x x x x x x x x x x f x f x -----+--⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫
⎝⎭=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎛⎫ ⎪⎝⎭
． （1）当x 1＜x 2＜1时，x 1+x 2＜2，即有x 1+x 2－2＜0．
又∵x 2－x 1＞0，∴(x 2―x 1)(x 2+x 1―2)＜0，则知2121()(2)
113x x x x -+-⎛⎫
> ⎪
⎝⎭
．
又对于x ∈R ，()0f x >恒成立，∴21()()f x f x >． ∴函数()f x 在（－∞，1）上单调递增．
（2）当1≤x 1＜x 2时，x 1+x 2＞2，即有x 1+x 2－2＞0． 又∵x 2－x 1＞0，∴(x 2―x 1)(x 2+x 1―2)＞0，则知
2121()(2)
1013x x x x -+-⎛⎫<< ⎪⎝⎭
．∴21()()f x f x <．
∴函数()f x 在[1，+∞）上单调递减．
综上，函数()f x 在区间（－∞，1）上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数．
∵x 2―2x=(x ―1)2―1≥－1，1013<<，221
110333x x
--⎛⎫
⎛⎫
<≤= ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
． ∴函数()f x 的值域为（0，3]．
解法二：∵函数()f x 的下义域为R ，令u=x 2－2x ，则1()3u
f u ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
．
∵u=x 2―2x=(x ―1)2―1，在（―∞，1]上是减函数，1()3u
f u ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
在其定义域内是减函
数，∴函数()f x 在（－∞，1]内为增函数．
又1()3u
f u ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
在其定义域内为减函数，而u=x 2―2x=(x ―1)2―1在[1，+∞）上是增函
数，∴函数()f x 在[1，+∞）上是减函数．
值域的求法同解法一．
【总结升华】由本例可知，研究()
f x y a
=型的复合函数的单调性用复合法，比用定义法要简便些，一般地有：即当a ＞1时，()
f x y a =的单调性与()y f x =的单调性相同；当0
＜a ＜1时，()
f x y a
=的单调与()y f x =的单调性相反．
举一反三：
【变式1】求函数2
32
3x
x y -+-=的单调区间及值域.
【答案】3(,]2x ∈-∞上单增，在3
[,)2
x ∈+∞上单减. 1
4(0,3]
【解析】[1]复合函数——分解为：u=-x 2
+3x-2， y=3u
；
[2]利用复合函数单调性判断方法求单调区间；  [3]求值域.
设u=-x 2+3x-2， y=3u
，
其中y=3u
为R 上的单调增函数，u=-x 2
+3x-2在3(,]2
x ∈-∞上单增，

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