第15讲 指数函数
指数函数的定义
当底数a固定，且a>0，且a≠1时，等式y＝ax叫确定了变了y随变量x变化的规律，称为底为a的指数函数做指数函数（exponential function）.其中x是自变量，函数的定义域是R.
思考：1.为什么底数应满足a>0且a≠1?
①如果a＝0，当x＞0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义．
②如果a＜0，例如y＝(－4)x，对于当x＝，，…，该函数无意义．
③如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值．
因此规定y＝ax中a>0，且a≠1.
2.指数函数的解析式的特征：①a＞0，且a≠1；②ax的系数为1；③自变量x的系数为1.
题型一、指数函数的概念与解析式或函数值
【例1】(1)（2020年全国课时练习）给出下列函数：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是(  )
A．0  B．1  C．2  D．4
【答案】　B
【解析】　①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．⑤中，底数－2<0，不是指数函数．
(2)（2020年全国课时练习）若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是(  )
A．(0,1)∪(1，＋∞)      B．[0,1)∪(1，＋∞)
C.∪(1，＋∞)      D.
【答案】　C
【解析】　依题意得2a－1>0，且2a－1≠1，
解得a>，且a≠1.故选C.
方法总结:判断一个函数是否为指数函数的方法
底数的值是否符合要求．
ax前的系数是否为1.
指数是否符合要求．
(3)(2021年上海高一期中）若指数函数y=ax（a>0,a≠1)的图像经过点（2，9），则该指数函数的表达式为则
        .
【答案】y=3x.
【解析】因为指数函数y=ax（a>0,a≠1)的图像经过点（2，9），所以9=a2，解得a=3,所以该指数函数的表达式为y=3x.
方法总结:(1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键．
(2)求指数函数的函数值的关键是掌握指数函数的解析式．
题型二、指数函数的定义域与值域
【例2】（2020·全国高一课时练习）求下列函数的定义域和值域：
（1）；
（2）；
（3）；
（4） y＝4x－2x＋1.
【答案】（1）定义域，值域为且；
（2）定义域，值域；（3）定义域R，值域(0,16]；（4）定义域为R，值域.
【解析】（1）要使函数式有意义，则，解得.所以函数的定义域为.因为，所以，即函数的值域为.
（2）要使函数式有意义，则，解得，所以函数的定义域为.因为，所以，即函数的值域为.
（3）函数的定义域为.因为，所以.
又，所以函数的值域为.
(4)函数的定义域为R.
y＝(2x)2－2x＋1＝，
∵2x>0，∴当2x＝，即x＝－1时，y取最小值，
∴函数的值域为.
拓展延伸
本例(4)的函数变为“y＝4x－2x＋1，x∈[0,2]”，求其值域．
【答案】[1,13].
【解析】y＝(2x)2－2x＋1＝，
∵x∈[0,2]，∴2x∈[1,4]，
∴当2x＝1，即x＝0时，y取最小值1；
∴当2x＝4，即x＝2时，y取最大值13，
∴函数的值域为[1,13]．
方法总结:函数y＝af(x)定义域、值域的求法
(1)定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合．
类型
限制条件
示例
分式
分母不为0
偶次
根式
被开方数
为非负数
零次幂
底数不为0
对数函数（下一讲内容）
真数大于0
(2)值域：①换元，令t＝f(x)；
②求t＝f(x)的定义域x∈D；
③求t＝f(x)的值域t∈M；
④利用y＝at的单调性求y＝a指数函数定义t，t∈M的值域．
注意：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集．
(2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论．
题型三、指数函数的图像
【例3】(1)（2020年上海高一必修1教材例题）分别描绘指数函数y=2x及y=3x的大致图像.
【答案】图像见解析.
【解析】先在相应的图像上取一些特殊的点.
由 2-2=，2-1= , 20= 1, 21=2 , 22=4 ,可知指数函数y=2x的图像必过下面的点：
(-2,), (-1,), (0,1), (1,2), (2,4). 再使用计算器多采集一些点,可以粗略地绘出其图像.
由 3-2=, 3-1= , 30= 1, 31=3 , 32 = 9 ,可知指数函数y=3x的图像必经过下面的点：
(-2,), (-1 ,), (0,1) , (1,3) , (2,9). 再使用计算器多采集一些点,可以粗略地绘出其图像.
我们把这两个图像放在同一个平面直角坐标系中以便观察比较,见图.
(2)（2020年上海高一必修1教材例题）描绘指数函数的大致图像
【答案】图像见解析.
【解析】先在相应的图像上取一些特殊的点.
由 可知指数函数y=2x的图像必过下面的点：
(-2,4), (-1,2), (0,1), (1,), (2,). 再使用计算器多采集一些点,可以粗略地绘出其图像.
举一反三
1.（2020年上海高一课时练习）指出下列函数哪些是指数函数？
（1）；（2）；（3）；（4）；
（5）且；（6）．
【答案】（1）（5）（6）
【解析】根据指数函数的定义，形如（且）的函数为指数函数，
（1）是指数函数；
（2）的底数不是常数，故不是指数函数；
（3）的系数为，不是指数函数；
（4）的底数小于0，不是指数函数；
（5）且是指数函数；
（6）是指数函数.

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