指数函数及其性质
要点一、指数函数的概念：
函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R.
要点诠释：
（1）形式上的严格性：只有形如y=ax(a>0且a≠1)的函数才是指数函数．像，，等函数都不是指数函数．
（2）为什么规定底数a大于零且不等于1：
①如果，则
②如果，则对于一些函数，比如，当时，在实数范围内函数值不存在．
③如果，则是个常量，就没研究的必要了．
要点二、指数函数的图象及性质：
y=ax
0<a<1时图象
a>1时图象
图象
性质
①定义域R，值域 （0，+∞）
②a0=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点
③ax=a，即x=1时，y等于底数a
④在定义域上是单调减函数
④在定义域上是单调增函数
⑤x<0时，ax>1
x>0时，0<ax<1
⑤x<0时，0<ax<1
x>0时，ax>1
⑥ 既不是奇函数，也不是偶函数
要点诠释：
（1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论。
（2）当时，；当时。
当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快。
当时，的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快。
（3）指数函数与的图象关于轴对称。
要点三、指数函数底数变化与图像分布规律
（1）
1  ②  ③  ④
则：0＜b＜a＜1＜d＜c
又即：x∈(0,+∞)时，  （底大幂大）
      x∈(－∞,0)时，
（2）特殊函数
的图像：
要点四、指数式大小比较方法
(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较.
(2)中间量法
(3)分类讨论法
(4)比较法
比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：
①若；；；
②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断，或即可．
【典型例题】
类型一、指数函数的概念
例1．函数是指数函数，求的值．
【答案】2
【解析】由是指数函数，
可得解得，所以．
【总结升华】判断一个函数是否为指数函数：
（1）切入点：利用指数函数的定义来判断；
（2）关键点：一个函数是指数函数要求系数为1，底数是大于0且不等于1的常数，指数必须是自变量．
举一反三：
【变式1】指出下列函数哪些是指数函数？
（1）；（2）；（3）；（4）；
（5）；（6）．
【答案】（1）（5）（6）
【解析】（1）（5）（6）为指数函数．其中（6）=，符合指数函数的定义，而（2）中底数不是常数，而4不是变数；（3）是-1与指数函数的乘积；（4）中底数，所以不是指数函数．
类型二、函数的定义域、值域
例2．求下列函数的定义域、值域.
(1)；(2)y=4x-2x+1；(3)；(4)(a为大于1的常数)
【答案】（1）R，(0，1)；（2）R [)；（3）  ；（4）(-∞，-1)∪[1，+∞)
[1，a)∪(a，+∞)
【解析】(1)函数的定义域为R (∵对一切xR，3x≠-1).
∵ ，又∵ 3x>0， 1+3x>1，
∴ ，  ∴ ，
∴ ， ∴值域为(0，1).
(2)定义域为R，，∵ 2x>0，  ∴ 即 x=-1时，y取最小值，同时y可以取一切大于的实数，∴ 值域为[).
(3)要使函数有意义可得到不等式，即，又函数是增函数，所以，即，即，值域是.
(4)∵   ∴ 定义域为(-∞，-1)∪[1，+∞)，
又∵ ，∴ ， ∴值域为[1，a)∪(a，+∞).
【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性；第(3)小题中值域切记不要漏掉y>0的条件，第(4)小题中不能遗漏.
举一反三：
【变式1】求下列函数的定义域：
(1)          (2)
(3)      (4)
【答案】（1）R；（2）；（3）；（4）a>1时，；0<a<1时，
【解析】(1)R
(2)要使原式有意义，需满足3-x≥0，即，即．
(3) 为使得原函数有意义，需满足2x-1≥0，即2x≥1，故x≥0，即
(4) 为使得原函数有意义，需满足，即，所以a>1时，；0<a<1时，.
【总结升华】本题中解不等式的依据主要是指数函数的单调性，根据所给的同底指数幂的大小关系，结合单调性来判断指数的大小关系.
类型三、指数函数的单调性及其应用
例3．讨论函数的单调性，并求其值域．
【思路点拨】对于x∈R，恒成立，因此可以通过作商讨论函数的单调区间．此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数，因此可以逐层讨论它的单调性，综合得到结果．
【答案】函数在区间（－∞，1）上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数  （0，3]
【解析】
解法一：∵函数的定义域为（－∞，+∞），设x1、x2∈（－∞，+∞）且有x1＜x2，
∴，，
．
（1）当x1＜x2＜1时，x1+x2＜2，即有x1+x2－2＜0．
又∵x2－x1＞0，∴(x2―x1)(x2+x1―2)＜0，则知．
又对于x∈R，恒成立，∴．
∴函数在（－∞，1）上单调递增．
（2）当1≤x1＜x2时，x1+x2＞2，即有x1+x2－2＞0．
又∵x2－x1＞0，∴(x2―x1)(x2+x1―2)＞0，则知
．∴．
∴函数在[1，+∞）上单调递减．
综上，函数在区间（－∞，1）上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数．
∵x2―2x=(x―1)2―1≥－1，，．
∴函数的值域为（0，3]．
解法二：∵函数的下义域为R，令u=x2－2x，则．
∵u=x2―2x=(x―1)指数函数定义2―1，在（―∞，1]上是减函数，在其定义域内是减函数，∴函数在（－∞，1]内为增函数．
又在其定义域内为减函数，而u=x2―2x=(x―1)2―1在[1，+∞）上是增函数，∴函数在[1，+∞）上是减函数．
值域的求法同解法一．
【总结升华】由本例可知，研究型的复合函数的单调性用复合法，比用定义法要简便些，一般地有：即当a＞1时，的单调性与的单调性相同；当0＜a＜1时，的单调与的单调性相反．
举一反三：
【变式1】求函数的单调区间及值域.
【答案】上单增，在上单减.
【解析】[1]复合函数——分解为：u=-x2+3x-2， y=3u；
      [2]利用复合函数单调性判断方法求单调区间；  [3]求值域.
设u=-x2+3x-2， y=3u，

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