常用傅里叶级数展开公式
傅里叶级数展开是指将一个周期函数表示成一组正弦和余弦函数的和的形式，从而方便研究周期函数的性质。傅里叶级数理论建立于 1822 年由法国数学家约瑟夫·傅里叶发现。在数学、物理、工程等领域均有广泛应用。下面我们来看一下常用的傅里叶级数展开公式。
1. 周期函数的傅里叶级数展开
设 $f(x)$ 为周期为 $2l$ 的周期函数，则对于 $x\in(-l,l)$ 函数 $f(x)$ 可以表示为以下形式：
$$ f(x) = \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}(a_n \cos \frac{n\pi x}{l}+b_n \sin \frac{n\pi x}{l}) $$
其中，$a_0,a_n,b_n$ 称为傅里叶系数，具体计算方法如下：
$$ a_0=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)dx $$
$$ a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}dx $$
$$ b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}dx $$
2. 正弦级数和余弦级数
上面提到的傅里叶级数展开可以分为正弦级数和余弦级数。当 $f(x)$ 为偶函数时，我们就可以展开成余弦级数形式：
$$ f(x) = \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}a_n \cos \frac{n\pi x}{l} $$
其中，$a_0,a_n$ 的计算方法与上述相同。
当 $f(x)$ 为奇函数时，我们就可以展开成正弦级数形式：
$$ f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty}b_n \sin \frac{n\pi x}{l} $$
其中，$b_n$ 的计算方法也与上述相同。
3. 周期不为 $2l$ 的函数的傅里叶级数展开
对于周期不为 $2l$ 的函数，我们需要将其转化为一个周期为 $2l$ 的函数，并称其为 $F(x)$，然后再做傅里叶级数展开。常用的方法有：
（1）将 $F(x)$ 进行 periodic extension，即将其在每个周期 $[nl,(n+1)l)$ 上分别复制，得到一个周期为 $2nl$ 的函数，再取周期为 $2l$ 的部分。
（2）利用傅里叶变换将其转换为一个周期为 $2l$ 的函数。
4. 傅里叶级数的收敛性
傅里叶变换公式证明傅里叶级数展开有可能收敛到函数本身，也有可能只收敛到函数的一个近似。一个周期函数的傅里叶级数展开在以下两种情况下是收敛到函数本身的：
（1）当函数 $f(x)$ 是连续的，而且满足 Dirichlet 条件时，傅里叶级数展开收敛到函数本身。
（2）当函数 $f(x)$ 满足 Lipschitz 条件时，傅里叶级数展开收敛到一个最小二乘近似。
在实际应用中，我们往往只需要保证傅里叶级数展开收敛到一个足够好的近似即可。
综上所述，傅里叶级数展开是一种将周期函数表示成正弦和余弦函数的和的方法，其应用广泛。在具体计算中，我们需要根据不同情况选择不同的计算方式，并需要注意傅里叶级数的
收敛性问题。

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