4.16 证明连续和离散二维傅里叶变换都是平移和旋转不变的。
首先列出平移和旋转性质：
  (4.6-3)
(4.6-4)
旋转性质：
  (4.6-5)
证明：由式(4.5-15)得：
由式(4.5-16)得：
依次类推证明其它项。
4.17 由习题4.3可以推出和。使用前一个性质和表4.3中的平移性质证明连续函数的傅里叶变换是
证明：
4.18 证明离散函数的DFT是
证明：离散傅里叶变换
如果，，否则：
考虑实部，，的值介于[-1, 1]，可以想象，，虚部相同，所以
4.19 证明离散函数的DFT是
证明：
4.20 下列问题与表4.1中的性质有关。
★(a) 证明性质1的正确性。
★(b) 证明性质3的正确性。
(c) 证明性质6的正确性。
★(d) 证明性质7的正确性。
(e) 证明性质9的正确性。
(f) 证明性质10的正确性。
★(g) 证明性质11的正确性。
(h) 证明性质12的正确性。
(i) 证明性质13的正确性。
(a)当为实函数，则
(b)当为实函数，则和并且。而且，所以可以得到：
，便是为偶函数和
为奇函数。
(c)当为复函数，由下式得：
所以得证；
(d)当为复函数，由下式得：
所以得证；
(e)当为实函数、奇函数，则的实部为0，即为虚数，且也是奇数。
由式可知，为虚数。
(f)当为虚函数、偶函数，由下式得：
傅里叶变换公式证明所以F(u，v)为一虚数。
(g)当为虚函数、奇函数，由下式得：
可知，结果为一实数。
(h)当为复函数、偶函数，由下式得：
由式子可知，前项为实数，而后项为一纯虚偶数。
(i)当为复函数、奇函数，由下式得：
由式子可知，前项为一偶实函数，后项为一纯虚奇数。
★ 4.21 4.6.6节中在讨论频率域滤波时需要对图像进行填充。在该节中给出的图像填充方法是，在图像中行和列的末尾填充0值(见上面的左图)。如果我们把图像放在中心，四周填充0值(见上面的右图)，而不改变所用0值的总数，会有区别吗？试解释原因。
答：如下图所示
观察上图，左图是正确的结果，右图是“缠绕错误”引起的卷积错误。这个缠绕错误出现的原因在于没有对图像进行填充，只有通过填充之后获得适当的间距才能得到正确的卷积结果。

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