傅⾥叶变换三部曲（⼆）·傅⾥叶变换的定义Part1：傅⾥叶级数的复数形式
设f(x)是周期为l的周期函数，若
f(x)∼a0
2+
∞
∑
n=1(a n cos
nπx
l+b
n sin
nπx
l),a
n=
1
l∫l
−l
f(x)cos
nπx
l d x,(n=0,1,2,…)b
n=
1
l∫l
−l
f(x)sin
nπx
l d x.(n=1,2,…)
记ω=π
l，引进复数形式:
cos nωx=
e i nωx+e−i nωx
2,sin nωx=
e i nωx−e−i nωx
2i
级数化为
f(x)∼a0
2+
∞
∑
n=1(a n
e i nωx+e−i nωx
2+b
n
e i nωx−e−i nωx
2i)
=a0
2+
∞
∑
n=1(
a n−i
b n
2e i nωx+
a n+i
b n
2e−i nωx)
令c0=a0
2,c
n=
a n−i
b n
2,d
n=
a n+i
b n
2，则
c0=
1
2l∫l
−l
f(x)d x,
c n=
1
2l∫l
−l
f(x)(cos nωx−isin nωx)d x=
1
2l∫l
−l
f(x)e−i nωx d x,
d n=
1
2l∫l
−l
f(x)(cos nωx+isin nωx)d x=
1
2l∫l
−l
f(x)e i nωx d x
≜c−n=
¯
c n,(n=1,2,…)
合并为
c n=1
2l=∫l
−l
f(x)e−i nωx d x,(n∈Z)
级数化为
+∞
∑
n=−∞c n e−i nωx=1
2l
+∞
∑
n=−∞∫l−l f(x)e−i nωx d x e i nωx
我们称c n为f(x)的离散频谱(discrete spectrum),|c n|为f(x)的离散振幅频谱(discrete amplitude spectrum),arg c n为f(x)的离散相位频谱(discrete phase spectrum).对任何⼀个⾮周期函数f(t)都可以看成是由某个由某个周期为l的函数f(x)当l→∞时得来的.
Part2：傅⾥叶积分和傅⾥叶变换
傅⾥叶积分公式
设f T(t)是周期为T的周期函数，在[−T
2,
T
2]上满⾜狄利克雷条件，则
f T(t)=
1
T
∞
∑
n=−∞∫
T
2
−
T
2
f T(t)e−j nωt d t e j nωt,ω=
2π
T
(上式中j是虚数单位，在傅⾥叶分析中我们不⽤i⽽通常记作j)由
lim
T→∞f T(t)=f(t)知,
f(t)=
lim
T→∞
1
T
∞
∑
n=−∞[∫
T
2
−
T
2
f T(t)e−j nωt d t]e j nωt
记Δω=2π
T，则Δω→0⇔T→∞，则
f(t)=
lim
T→∞
1
T
∞
∑
n=−∞[∫
T
2
−
T
2
f T(t)e−j nωt d t]e j nωt
=
lim
Δω→0
1
2π
+∞
∑
n=−∞∫
T
2
T
2
f T(t)e−j nωt d t e j nωtΔω
[]
[]
[]
令F T(nω)=∫T
2
−
T
2
f T(t)e−j nωt d t，则
f(t)=
lim
Δω→0
1
2π
+∞
∑
n=−∞F T(nω)e j nωtΔω,F T(t)→∫+∞−∞f(t)e−jωt d t≜F(ω)(T→∞),
由定积分定义f(t)=1
2π∫+∞
−∞
F(ω)e jωt dω，即
f(t)=
1
2π∫+∞
−∞
∫+∞−∞f(t)e−jωt d t e jωt dω
上述公式称为傅⾥叶积分公式.
傅⾥叶积分存在定理
若f(t)在任何有限区间上满⾜狄利克雷条件，且在R上绝对可积，则
1
2π∫+∞
−∞∫+∞−∞f(t)e−jωt d t e jωt dω=
f(t),t为连续点,
f(t−)+f(t+)
2,t为间断点.
傅⾥叶变换
设f(t)满⾜傅⾥叶积分存在定理，定义
F(ω)=∫+∞−∞f(t)e−jωt d t 为f(t)的傅⾥叶变换(Fourier Transform)(实际上是⼀个实⾃变量的复值函数)，记作
F(ω)=F[f(t)]
类似地，定义
f(t)=
1
2π∫+∞
−∞
F(ω)e−jωt dω
为F(ω)的傅⾥叶逆变换(Inverse Fourier Transform)，记作
f(t)=F−1[F(ω)]
在⼀定条件下，有
F[f(t)]=F(ω)⇒F−1[F(ω)]=f(t);F−1[F(ω)]=f(t)⇒F[f(t)]=F(ω). f(t)与F(ω)在傅⽒变换意义下是⼀个⼀⼀对应，称f(t)与F(ω)构成⼀个傅⽒变换对，记作
f(t)F
↔F(ω)
在不引起混淆的情况下，简记为f(t)↔F(ω).f(t)称为原象函数(original image function),F(ω)称为象函数(image function).
在频谱分析中,F(ω)⼜称为f(t)的频谱(密度)函数(spectrum function),|F(ω)|称为f(t)的振幅频谱(amplitude spectrum),arg F(ω)称为f(t)的相位频谱(phase spectrum).下⾯我们来求⼏个常见信号函数的傅⽒变换.
例1 求矩形脉冲函数(rectangular pulse function)
R(t)=1,|t|≤1, 0,|t|>1
的傅⽒变换及其频谱积分表达式
.
解:
F(ω)=F[R(t)]=∫+∞−∞R(t)e−jωt d t=∫1−1R(t)e−jωt t
=e−jωt
−jω
1
−1
=−e−jω−e jω
jω=
2sinω
ω;
R(t)=
1
2π∫∞
−∞
F(ω)e jωt dω=
1
π∫+∞
F(ω)cosωt dω
=1
π∫+∞
2sinω
ωcosωt dω=
2
π∫+∞
sinωcosωt
ωdω
=1,|t|<1, 1
2,|t|=1, 0,|t|>1
因此可知，当t=0时，有
[] []{
{ []
{
∫
+∞0
sin t x
d t =π
2例2 求指数衰减函数(exponential decay function)
E (t )=
0,t <0,e −βt ,t ≥0
的傅⽒变换及其频谱积分表达式，其中β>0为常数
.
解:
F (ω)=F [E (t )]=
∫+∞
−∞E (t )e −j ωt d t
=
∫+∞0
e −βt e −j ωt
d t =
∫+∞0
e (β+j ω)t d t =
1
β+j ωβ−j ω
β2+ω2
E (t )=
1
2π∫+∞
−∞F (ω)e j ωt ω=1
2π∫+∞−∞β−j ω
β
2+ω2e j ωt
ω
=1π∫+∞
傅里叶变换公式证明βcos ωt +ωsin ωt
β2+ω2
d ω=0,t <0,
1
2
,t =0,
e −βt ,t >0
Part3：单位脉冲函数
我们记电流脉冲函数
q (t )=
0,t ≠0,1,t =0,
严格地，由于q (t )在t =0出不连续，所以q (t )在t =0点是不可导的.但是，如果我们形式地计算这个导数，有
q ′(0)=lim
Δt →0
q (0+Δt )−q (0)
Δt
=lim
Δt →0−1
Δt
=∞
我们引进这样⼀个函数，称为单位脉冲函数(unit pulse function)或狄拉克(Dirac)函数，简记为δ−函数，即
δ(t )=
0,t ≠0,
∞,t =0,
⼀般地，给定⼀个函数序列
δε(t )=0,t <0,
1
ε
,0≤t ≤ε,0,t >ε
则有
δ(t )=lim ε→0δε(t )=0,t ≠0,
∞,t =0
于是
∫+∞
−∞δ(t )d t =
lim
ε→0
∫+∞
−∞δεd t =
lim
ε→0
∫ε0
1
ε
d t =1
若设f (t )为连续函数，则δ−函数有以下性质:
∫+∞
−∞δ(t )f (t )d t =f (0);∫+∞
−∞δ(t −t 0)f (t )d t =f (t 0)
于是我们可得:
F [δ(t )]=
∫+∞
−∞δ(t )e −j ωt t =e −j ωt t =0=1
于是δ(t )与常数1构成了⼀对傅⾥叶变换对.例3: 证明:
e j ω0t ↔2πδ(ω−ω0)
其中ω0是常数.证:
{
{
{
{
{
{
|
f(t)=F−1[F(ω)]=
1
2π∫+∞
−∞
2πδ(ω−ω0)e jωt dω
=e jωtω=ω
=e jω0t
在物理学和⼯程技术中，有许多重要函数不满⾜傅⽒积分定理中的绝对可积条件，即不满⾜条件
∫+∞−∞|f(t)|d t<∞
例如常数，符号函数，单位阶跃函数以及正，余弦函数等, 然⽽它们的⼴义傅⽒变换也是存在的，利⽤单位脉冲函数及其傅⽒变换就可以求出它们的傅⽒变换.所谓⼴义是相对于古典意义⽽⾔的，在⼴义意义下，同样可以说，原象函数f(t)和象函数F(ω)构成⼀个傅⽒变换对.
例求正弦函数f(t)=sinω0t的傅⽒变换.
解:
F(ω)=F[f(t)]=∫+∞−∞f(t)e−jωt d t
=∫+∞−∞e jω0t−e−jω0t2je−jωt d t
=1
2j∫+∞
−∞
e−j(ω−ω0)t−e−j(ω+ω0)t d t
=jπδ(ω+ω0)−δ(ω−ω0)
同样我们易得
F(cosω0t)=πδ(ω+ω0)+δ(ω−ω0)例证明：单位阶跃函数(unit step function)
u(t)=0,t<0, 1,t>0
的傅⽒变换为
F[u(t)]=1
jω+πδ(ω)
证:
F−11
jω+πδ(ω)=
1
2π∫+∞
−∞
1
jω+πδ(ω)e jωt dω
=
1
2π∫+∞
−∞
[πδ(ω)]e jωt dω+
1
2π∫+∞
−∞
1
jωe jωt dω
=
1
2+
1
2π∫+∞
−∞
cosωt+jsinωt
jωdω
=
1
2+
1
2π∫+∞
−∞
sinωt
ωdω=
1
2+
1
π∫+∞
sinωt
ωdω
∫+∞0sinωt
ωdω=
π
2,t>0,
−
π
2,t<0
⇒
F−11
jω+πδ(ω)=
1
2+
1
π−
π
2=0,t<0
1
2,t=0,
1
2+
1
π
π
2=1,t>0
=u(t).
本⽂完
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