中心极限定理 证明
中心极限定理（Central Limit Theorem）是概率论中的一个重要定理，指的是当样本容量足够大时，样本均值的分布逼近于正态分布。这一定理的证明可以从两个方面入手，一是通过独立随机变量的和的特点，二是通过特征函数的性质。下面将依次介绍这两种证明方法。
首先从独立随机变量的和的特点进行证明。设X1, X2, ..., Xn为独立同分布的随机变量序列，其期望和方差分别为μ和σ^2，定义Sn = (X1 + X2 + ... + Xn) / n为这n个随机变量的均值。根据大数定理，当n趋向于无穷大时，Sn的极限为μ，即Sn依概率收敛于μ。
根据协方差的性质，有Var(Sn) = Var((X1 + X2 + ... + Xn) / n) = (1/n^2) * (Var(X1) + Var(X2) + ... + Var(Xn))。由于X1, X2, ..., Xn为独立同分布的随机变量，它们的方差都相等，即Var(X1) = Var(X2) = ... = Var(Xn) = σ^2，所以Var(Sn) = σ^2 / n。根据切比雪夫不等式，对于任意ε > 0，有P(|Sn - μ| ≥ ε) ≤ Var(Sn) / ε^2 = σ^2 / (nε^2)。当n趋向于无穷大时，右边的概率趋近于0，即Sn依概率收敛于μ。
接下来，我们通过特征函数的性质进行证明。设X1, X2, ..., Xn为独立同分布的随机变量序列，
其特征函数分别为φ(t) = E(e^itX1)，则Sn的特征函数为φ(t/n)^n。根据独立随机变量和的特征函数的性质，有φ(t/n)^n = φ(t/n) * φ(t/n) * ... * φ(t/n)，其中有n个φ(t/n)相乘。
考虑到φ(t)的级数展开形式为φ(t) = 1 + itμ - (t^2σ^2) / 2 + R(t)，其中R(t)为误差项。将φ(t/n)带入展开形式得到：
φ(t/n) = 1 + itμ/n - (t^2σ^2) / (2n^2) + R(t/n)。
将n个φ(t/n)相乘，其中1 + itμ/n和R(t/n)是量级比较小的项，进行展开并取极限，得到：
lim(n→∞) φ(t/n)^n = e^(itμ - (t^2σ^2) / 2)。
上述等式是一个典型的正态分布的特征函数形式，可以通过特征函数唯一性定理得到其分布是正态分布。这个定理可以通过逆傅里叶变换得到，但不在本文的证明范围内。所以我们可以得出结论：当样本容量足够大时，Sn的分布逼近于正态分布。
综上所述，中心极限定理的证明可以从独立随机变量的和特点和特征函数的性质两个方面进行。这一定理表明当样本容量足够大时，样本均值的分布逼近于正态分布，这为许多统计推断提供了重要的理论基础。
>傅里叶变换公式证明

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