信号处理过程中的⼏种常见傅⾥叶相关的变换
学习了信号与系统及数字信号处理之后，什么感觉呢？这讲的什么玩意啊？数字数字信号处理考了62分哦。
这两天，⼜看了看，因为可能要⽤到的唉。
好像是这么回事：
我的理解吧，是这样的，对于各种变换⽆⾮就是通过数学公式把⼀个函数从⼀个域变到另⼀个域。变来变去发现它有点物理意义了呢，也或着奔着它的物理意义去的。
对于模拟信号：
1. 分解为傅⾥叶级数的情况：
傅里叶变换公式证明信号是⼜时间 t 变化，并且为周期性的哦，这时，就可以把这个信号分解为⼀系列的正弦或余弦相叠加⽽成。（此时的频域上为离散的哦，因为这⼀系列正弦波的頻率为基頻的整数倍）。（可以看出：时域为周期的，频域⽽为离散的）
说明了：对于时间上为周期的，它的频域为离散的。
还想说明⼀点，当我们⽤指数形式表⽰傅⾥叶级数时，它的系数F n与 F-n ⼀定是共轭的哦，如果不是共轭，它就展不成三⾓函数的形式了，（对于这点，由于看了⼀本书上的⼀个例⼦的写错了，我纠结了不⼩⼀会，后来可以通过举例⼦得到）
变换公式：
要知道，复幅度 Fn 的模即为幅度谱、⽽ Fn 的辐⾓主值（-pi， pi）即为相位谱啊；⽽后⾯的 e jnwt 这个不⽤管，它的作⽤是与 Fn 相乘以后得到 f(t)的；
欧拉也太⽜逼了吧，这么抽象的三⾓函数的欧拉公式他是怎么搞出来的
2. 分解为傅⾥叶变换的形式：
对于⾮周期信号，则分解为傅⾥叶变换的样⼦啦。因为吧，这时相当于周期为⽆穷⼤的周期信号，然后呢，它的基频相当于⽆穷⼩，所以就⽤连续的频域来进⾏变换，所以就有了傅⾥叶变换啦。它就相当于把信号分解为了分布在全部頻域上的⼀系列正弦信号相叠加。
对于周期信号，如果你⾮要进⾏傅⾥中变换，也可以，但是要引⽤冲激函数，那么它的傅⾥叶变换由以前的⼀个个的散值变为了⼀个个离散的冲激函数。（看看下图就知道什么意思啦）
对于周期函数的⼀个周期内作傅⾥叶变换会怎么样呢？？因为它不是周期的嘛，它的图像想想的话⼀定是连续的，因为它不是周期的嘛，它的样⼦就是（如果按如图上⾯的例⼦来的话）上图中的包络。所以呢，周期信号呢，⽽在它⼀个周期内的信号的傅⾥叶变换上的图上的等间隔上取点。
变换公式：
周于什么拉普拉斯变换啦，Z变换啦，等，那玩意都是就是⼀个⼯具了。
深⼊理解上⾯的傅⾥叶级数与傅⾥叶变换的两个公式啊；明⽩频域的幅度与相位啊；
对于数字信号上：
它的特点就是信号为离散的，以 n 表⽰变量。（⽽模拟信号中以 t 表⽰变量的哦，它是连续的，平时我们接触到的⼤多数信号都为连续的）。
⾸先说明的是，在表⽰频率的变量为：数字频率，什么意思呢？它就表⽰单位的间隔内信号变化了多少的rad( n 是离散的哦，所以为⼀个⼀个的点），相对⽐，在模似信号中的⾓频率，它表⽰物理意义为：单位时间内（应该可以说1秒内）它变化了多少的rad.
看出了点什么没因为在模似信号的横坐标为时间，所以⽤单位时间内；⽽在数字信号中我们的横坐标为 n (⼀个⼀个的离散的点组成），所以我们⽤的为单位间隔。
1. 离散时间的傅⾥叶变换（就是⼀个个的⽆限长的⼩点点组成的数字信号）：⼜叫做DTFT，定义的它的变换为这样的：
从上⾯你能看出什么？？由于它在时间的变量为 n ，所以就出现了⼀个好玩的现象，频域信号为周期的；你这么想想，对于数字频率, 0.3pi 与 0.2pi + 2pi 有区别吗？？答案为结果⼀样，这就是周期的了吧，即以2pi 为周期。为什么呢？⼀个间隔内变化 2pi 的整数倍时，尽管两个端点中间的值在不断变化，但是别忘了，现在的离散的，⽽不是连续时间变化的，我们只关注在端的两个点处的变化，所以两个端点的值是不会变化的。
看看它的反变换：
看到了吧，只需要在⼀个周期内，我们就可以把信号从频域恢复到时间域上来，我们呢，对于我们有⽤的就是⼀个周期内的频域信号哦，谁让它是周期的来呢。
看⼀个例⼦：上⾯的图为时域，中间为频域上的幅度，下⾯为频域上的相位。
从另⼀个⾓度想它为什么是周期的：上⾯已经说了，由于在⼀个间隔内，对于数字频率差为2pi * k 的，可以看作是⼀样的。所以呢，对于在频域中，对于分量的数字频域为 w 的信号幅度为A，相位为B，那么它也可以看作为是分量为 w + 2pi * k 的分量啊，且幅度与相位是相同的，所以这也就对应了图上的频域为周期的形状。
对于这个变化，还说明⼀点为问题哦：对于时域为离散的，那么它的频域为周期的。
2，对于离散的周期的信号的离散的傅⾥叶级数（DFS）：
这么说吧，从宏观上看，对于离散的时间信号，那么就对应频域为周期的吧（上⾯说明原因了），对于周期的信号呢，它可以分解为离散的频域信号吧（可以从看模拟时间的傅⾥叶级数看出哦，或者说，因为为周期的，它的基频不是⽆穷⼩，所以呢，傅⾥叶级数分解为基频整数倍的⼀系列的信号，所以为离散啦）。由于这样，所以呢，DFS的结果⼀定为离散且为周期的了。
这样就容易明⽩下⾯它的变化公式了：
也正如此，周期序列的傅⾥叶分解为有限个独⽴的谐波分量（⼤于N的时候它就重复了），有⽆论正反变换，它都是在周期为 N 上进⾏的。（我认为要先明⽩反变换，它就相当于把时域信号分解为频域信号，具有物理意义吧。）
最后的结果：正反变换得到的时域与频域的序列都为周期为N的⼀个序列啦。
3，离散的傅⾥叶变换（DFT）：
对于有限长的离散频域表⽰时，做法就是把长度为N的有限长的序列看成周期为N的周期序列的⼀个周期，
这样就⽤离散的傅⾥叶级数计算周期序列的⼀个周期啦。⽽频域看成原本周期序列的⼀个主值序列就可以啦。
所以呢，最终的变换公式为：
看到了吧，它和上⾯的傅⾥叶级数的分解变换公式没有什么区别，只是把⽆限的周期序列变为了限制在了有限的主序列了。
对于它，有⼀个FFT变换，FFT（快速傅⾥叶变换并不是⼀个新的变换，⽽是DFT的⼀种快速算法⽽已）。
上⾯讲的就是时间——频域之间变换⽅法的⼤致。如果具体想看的话，当然需要看书上的详细内容。我只是⼤体在很宏观上说明了它们表⽰了什么意思，这样很容易理解的哦。
4. 离散余弦变换：
正变换：
反变换：
正变换与反变换的核是相同的，转置⼀下就可以了；
令正变换的核为A；  F= A * X；（X 为⼀个⼀维的列信号， F为DCT变换的结果）
X = A的逆 * Y =  A的转置 * Y ；因为吧，这个A的每⼀列都是正交的，所以呢，转置就等于逆；DCT变换的实质就是：把⼀个信号表⽰成好多个余弦分量的叠加形式；

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