第六章  层状媒质中偶极子源的电磁场
6-1  利用磁场边界条件，证明位于无限大理想导电平面附近的垂直电流元及磁流元的镜像关系。
6-2  一个平行电流元I l 位于无限大的理想导电平面附近，距离为d ，如习题6-2图所示。试求空间辐射场。
y
习题6-2图
解：假定电流源元a a I l 在空间某点可以产生的电场强度a E 。
在该点放置另一个点电流元b b I l ，且令b l 和a E 的方向一致。已知理想导体表面仅可以存在电场强度的垂直分量，所以电流源b b I l 在电流元a a I l 附近产生的电场强度b E 必须垂直于理想导体表面，因而同时也垂直于电流元a a I l 。对于该两组源a a I l 、b b I l 及其产生的电场强度a E 、b E ，应用Carson 互易原理，并考虑到电流元()I ds l dV ==l J J 及
a b b a b b I I ⋅=E l E l ，求得b a a a b b I I ⋅=E l E l 。
由于b a ⊥E l ，所以上式左端为零，即0a b b E I L =。但0b b I L ≠，因此只能0a E =，即位于理想导体表面附近的平行电流元不可能在空间产生任何电磁场。
6-3  谐变频率为ω、磁偶极距为i 0e
t
ω=m m 的谐变磁偶极子垂直放置于两媒质的分界
面上方，如习题6-3
图所示。求媒质1和媒质2中反射波及透射波。
习题6-3图
解：易知磁偶极子垂直于分界面，故其激发TE 波，由图形可知
z m m =e ，z d =
一次场的矢量位仅有z 分量且满足标量波动方程
22()()()m m A k A i m x y z d ωεμδδδ∇+=-
在0z d ≤≤的区域内，一次场的平面波分量为
110
2d z
m i m A e e εεϖεμε--=
则反射波和透射波的矢量位分别为
1111102d z m TE
i m A R e e εεϖεμε--=，221120
2d z
m i m A e e εεϖεμε--= 其中反射系数1212TE R ξξξξ-=
+，透射系数112
2TE T ξξξ=+
对以上两式进行傅里叶反变换得
1
111()11101
0(,)()4z d m TE k i m A z R e J k dk ρξρρωεμρρπξ∞
-+=⎰ 2()11220222
0(,)()4z d m TE i m k A z T e J k dk ξωεμρρρρρπξ∞
-=⎰ 由公式1
m m ξ
=-∇⨯E A ，1
m m m i i σωεεωεμ
+=-
+∇∇H A A 可得垂直磁偶极子的反射波电磁场分量为
1111()2
121112
0()4z d m m H e k J k dk ξρρρρξξρπξξ∞
-+-=-+⎰ 1
1113()12101210()4z d mz k m H e J k dk ρξρρξξρπξξε∞
-+-=+⎰ 1
1113()11211121
0()4z d m k i m E e J k dk ρξϕρρωμξξρπξξε∞
-+-=-+⎰ 1110m m mz H E E ϕρ===
透射波电磁场分量为
2222()
2
11121
2212
02()4z d m m H e k J k dk ξρρρρεμξρπεμξξ∞-=-+⎰ 2
2223
()
111202212
1
02()4z d mz k m H e J k dk ρξ
ρρεμξρπεμξξε∞-=+⎰
2
2222()1112
121
2102()4z d m k i m E e J k dk ρξϕρρωεμξρπεξξε∞
-=-+⎰
2220m m mz H E E ϕρ===
6-4  谐变频率为ω的电偶极子水平放置于两媒质的分界面上方，如习题6-4图所示。求媒质1和媒质2中的反射波及透射波。
习题6-4图
解 当接地导线的长度远小于到观测点的距离时，导线源可以看成一水平电偶极子源。 设水平电偶极子置于离地面高d 处的z 轴上，方向沿x 方向，偶极子长度为l ，通电流为I ，则在有源区的一次场矢量磁位仅有x 方向分量，并可将矢量位波动方程写成标量方程
()()()22
00μδδδ∇+=-+ex ex A k A Il x y z d
得到源到地面之间()0-≤≤d z 一次场矢量位的二维傅里叶变换
()
00
e 2ξμξ-+=
z d ex Il A  经与磁偶极子情况完全类似的处理，可得到一次电磁场的垂直方向分量的傅里叶变换
()
()00i e 2ξσωε-+=-
+z d
x ez Ilk E i
()
00
i e
2ξξ-+=-
y z d ez Ilk H
将ez E 所代表的TM 极化波和ez H 所代表的TE 极化波分别进行处理。并经处理得到
TM 波或TE 波所对应的一次场纵向磁矢量位或电矢量位的傅里叶变换为
()0TM 022
i e 2ξμ-+=-
+z d
x ez x y
Il
k A k k  ()0
TE 0022
0e 2ξωμεξ-+=+y z d
ez
x y
k Il A k k  可得到源区总场的矢量位为
()()()()00i TM 0TM 222i ,,e e e d d 8ξξμ∞∞+-+--∞-∞⎡⎤=-
+⎣⎦π+⎰⎰x y k x k y z d z d x ez x y x y
Il k A x y z R k k k k
()()()()
()00i TE 00TE 2220i i ,,e e e d d 8ξξωμεξ∞∞+-+--∞-∞⎡⎤=-
+⎣⎦π+⎰⎰x y k x k y z d z d y ez x y x y k Il A x y z R k k k k  （1） 求得反射波电磁场各场分量。
这里感兴趣的是横向电场分量，反射波电磁场分量为TM 波与TE 波之电场x 方向分量之和为
()()()
()02i 0TM 2220e e d d 8i ξξσωε∞∞+--∞-∞=--π++⎰⎰x y k x k y z d x exR x y x y
k Il E R k k k k                ()()
()
()02
i 0TE 222
0i e e d d 8ξωμξ∞∞+--∞-∞-π+⎰⎰x y k x k y z d y x y x y k Il R k k k k                  将关系式
222
222
1y
x x y x y k k k k k k +-=+
整理，且注意到空气中0=σ，故有
()()()()
()002i 00TM TE 22200i e e e d d 8ξξξωμωεξ∞
∞
+---∞-∞⎡⎤=-+⎢⎥π
+⎣
⎦⎰⎰x y k x k y z d z d x exR
x y x y k Il
E R R k k k k              ()()
()
0i 0TE
20
i 1e e d d 8ξωμξ∞∞+--∞-∞-π⎰⎰x y k x k y z d x y Il R k k              因为存在关系式
()()2i i 22e e x y x y k x k y k x k y x k x
++∂=-∂ 式中第一项可改写成对x 的二阶偏微分形式。利用二维傅里叶变换与汉克尔变换的转换关
系
，
改
写成汉克尔变换形式
()(
)()()
()00200TM TE
02
00i 1e e d 4ξξρρρξωμρωεξ∞
--⎡⎤∂=-
-+⎢⎥π∂⎣
⎦⎰z d z d exR
傅里叶变换公式证明Il E R R J k k x k                  ()()
()00T E 000i e d 4ξρ
ρ
ρωμρξ∞--π⎰z d k Il R J k k
同理可推得电场y 方向的分量为      ()()()()
()00200TM TE 0000i 1
e
e d 4ξξρρρ
ξωμρωεξ∞--⎡⎤∂=--+⎢⎥π∂∂⎣⎦⎰z d z d eyR
Il E R R J k k x y k
得到磁场的横向分量，经简化处理并转换为汉克尔变换有    ()()()
()002TM TE 001e e d 4ξξρρρ
ρ∞--∂=-+π∂∂⎰z d z d exR
Il H R R J k k x y k
(
)
()
(
)
()()
()
()0002T M T E
0T E 02
01e e d e d 44ξξξρρρρρρρρ∞∞---∂=
+--π∂π
⎰⎰z d z d z d eyR
Il Il H R R J k k R k J k k x k
在均匀无限大空间中，TM TE 0R R ==，x 方向的电偶极子所产生的磁场不存在x 方向的分量，即均匀媒质中电偶极子所产生的电磁场相对于偶极子方向而言是TM 极化波。
纵向磁场分量导出
()()
()0TE 000e d 4ξρ
ρ
ρρξ∞-∂=-π∂⎰z d ezR
k Il H R J k k y
()()
()02
T E 100
e d 4ξρ
ρρρρξ∞-=π⎰z d k Il y R J k k
（2） 求得透射波电磁场各场分量。
这里感兴趣的是横向电场分量，透射波电磁场分量为TM 波与TE 波之电场x 方向分量之和为
()()
()
()02i 0TM 2220e e d d 8i ξξσωε∞∞+-+-∞-∞=-π++⎰⎰x y k x k y z d x exT
x y x y
k Il E T k k k k                ()()
()
()02
i 0TE 222
0i e e d d 8ξωμξ∞∞+-+-∞-∞-π+⎰⎰x y k x k y z d y x y x y k Il T k k k k                  将关系式
222
2
22
1y
x x y x y k k k k k k +-=+ 整理，且注意到空气中0=σ，故有
()()()()
()002i 00TM TE 22200i e e e d d 8ξξξωμωεξ∞
∞
+-+-+-∞-∞⎡⎤=+⎢⎥π
+⎣
⎦⎰⎰x y k x k y z d z d x exT
x y x y k Il
E T T k k k k              ()
()
()0i 0TE
20
i 1e e d d 8ξωμξ∞∞+-+-∞-∞-π⎰⎰x y k x k y z d x y Il T k k
因为存在关系式
()()2i i 22e e x y x y k x k y k x k y x k x
++∂=-∂ 式中第一项可改写成对x 的二阶偏微分形式。利用二维傅里叶变换与汉克尔变换的转换关
系
，
改
写成汉克尔变换形式
()(
)()()
()00200TM TE
02
00i 1e e d 4ξξρρρξωμρωεξ∞
-+-+⎡⎤∂=-
+⎢⎥π∂⎣
⎦⎰z d z d exT
Il E T T J k k x k                  ()()
()00T E 000
i e d 4ξρ
ρρωμρξ∞-+-
π⎰z d k Il T J k k                      同理可推得电场y 方向的分量为      ()()()()
()00200TM TE 0000i 1
e e d 4ξξρρρ
ξωμρωεξ∞-+-+⎡⎤∂=-+⎢⎥π∂∂⎣⎦⎰z d z d eyT
Il E T T J k k x y k
得到磁场的横向分量，经简化处理并转换为汉克尔变换有    ()()()
()002TM TE 001e e d 4ξξρρρ
ρ∞-+-+∂=-+π∂∂⎰z d z d exT
Il H T T J k k x y k
()
()
(
)
()()
()
()0002T M T E
0T E 02
01e
e d e d 44ξξξρρρρρρρρ∞∞-+-+-+∂=
+-π∂π
⎰⎰z d z d z d eyT
Il Il H T T J k k T k J k k x k
在均匀无限大空间中，TM TE 0==T T ，x 方向的电偶极子所产生的磁场不存在x 方向的分量，即均匀媒质中电偶极子所产生的电磁场相对于偶极子方向而言是TM 极化波。
纵向磁场分量导出
()()
()0TE 000
e d 4ξρ
ρρρξ∞-+∂=-π∂⎰z d ezT
k Il H T J k k y                          ()()
()02
T E 100
e d 4ξρ
ρρρρξ∞-+=π⎰z d k Il y T J k k
6-5  半径为1米的圆线圈水平放置，线圈中载有电流i 0e
t
I I ω=，0100A I =，角频率
73.0010ω=⨯Hz ；在离线圈中心为一千米处的球面上，放置接收器。以线圈中心O 为原
点，线圈平面为2θ=π，取坐标系如习题6-5图。试问：（1）接收器应放在什么位置上，

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