连续时间 | 离散时间 | |||
傅里叶级数FS | 傅里叶变换FT | 傅里叶级数FS | 傅里叶变换FT | |
时域 | 连续时间，在时间上是 周期的 | 连续时间，在时间上是 非周期的 | 离散时间，在时间上是 周期的 | 离散时间，在时间上是 非周期的 |
频域 | 离散频率，在频率上是 非周期的 | 连续频率，在频率上是 非周期的 | 离散频率，在频率上是 周期的 | 连续频率，在频率上是 周期的 |
，， 周期为T，基本频率 | ， | 若：，， 周期为N，基本频率 | (频率周期为2π) | |
线性 性质 | ||||
时移 性质 | ||||
频移 性质 | ||||
对称 | ||||
时间 反转 | ||||
时域 变换 | ||||
相乘 | ||||
卷积 | 周期卷积： | 周期卷积： | ||
时域 微分 | ||||
频域 微分 | ||||
积分 | （仅当才为有限值且为周期的） | |||
共轭 对称 | 若为实函数， | |||
帕斯 瓦尔 定理 | 一个周期信号的总平均功率等于它的全部谐波分量的平均功率之和 | 非周期信号帕斯瓦尔定理： | 一个周期信号的总平均功率等于它的全部谐波分量的平均功率之和 | 非周期信号帕斯瓦尔定理: |
常用傅里叶变换对
连续时间 | 离散时间 | ||
信号 | 傅里叶变换 | 信号 | 傅里叶变换 |
1 | 1 | ||
t | |||
周期方波 | 周期方波 | ||
非周期方波： | 非周期方波： | ||
单位冲激串： | |||
1 | 1 | ||
双边拉普拉斯变换与Z变换性质
拉普拉斯变换 | Z变换 | |||||
逆变换 | ||||||
变换 | ||||||
性质 | 信号 | 变换 | 收敛域ROC | 信号 | 变换 | 收敛域ROC |
线性 | 至少 | 至少 | ||||
时移 | (除了可能增加或去除原点或点) | |||||
S域平移(z域尺度变换 | 的平移，即若在域中，则就位于收敛域中 | |||||
的比例伸缩，即在 =在中z的这些点的集合 | ||||||
时域尺度变换 | ，即若在R中，则就位于收敛域中 | |||||
共轭 | ||||||
卷积 | 至少 | 至少 | ||||
时域微分 | 至少 | 至少 | ||||
S域微分 | ||||||
时域积分 | 至少 | 至少 | ||||
初值及终值定理 | 若, 且在不包括任何冲激或高级奇异函数，则： | 仅有初值定理：若，则： | ||||
基本函数的（双边）拉普拉斯变换和（双边）z变换
拉普拉斯变换 | z变换 | ||||
信号 | 变换 | 收敛域 | 信号 | 变换 | 收敛域 |
1 | 全部s | 1 | 全部z | ||
全部s | 全部z，除去0（若m＞0），或∞（若m＜0） | ||||
全部s | |||||
拉普拉斯变换与z变换的收敛域、因果性、稳定性
收敛域ROC：对于来说，使得的傅里叶变换收敛；或者的拉普拉斯变换收敛！
因果性：如果一个系统在任何时刻的输出只取决于现在的输入及过去的输入，该系统称因果系统。
稳定性：若输入是有界的，则系统的输出也必须是有界的(输出不能发散)。
性质 | 拉普拉斯变换 | 变换 |
性质1 | 的收敛域是在平面内由平行于轴的带状区域组成。 | 的收敛域是在平面内以原点为中心的圆环。 |
性质2 | 对有理拉普拉斯变换来说，收敛域不包括任何极点。（因为在极点处，为无限大，显然不收敛） | 收敛域内不包含任何极点。(因为在极点处，为无限大) |
性质3 | 如果是有限持续期，并且是绝对可积的，那么收敛域就是整个平面。（有限可积，又因为为一固定常数，则必定可积） | 如果是有限长序列，那么收敛域就是整个平面可能除去和/或。 |
性质4 | 如果是右边信号，并且这条线位于收敛域内，那么的全部值都一定在收敛域内。（为右边信号则收敛域必定包含直线的右半平面，或者用定义式求证） | 如果是一个右边序列，并且的圆位于收敛域内，傅里叶变换公式表信号与系统那么的全部有限值都一定在这个收敛域内。是右边序列，则收敛域必定包含的圆外区域） |
性质5 | 如果是左边信号，并且这条线位于收敛域内，那么的全部值都一定在收敛域内。（为左边信号则收敛域必定包含直线的左半平面，或者用定义式求证） | 如果是一个左边序列，并且的圆位于收敛域内，那么的全部值都一定在这个收敛域内。是左边序列，则收敛域必定包含的圆内（0除外）区域） |
性质6 | 如果是双边信号，并且这条线位于收敛域内，那么收敛域一定由平面的一条带状区域组成，直线位于带中。（把分解为右边、左边信号之和，收敛的区域即是两者都收敛的区域） | 如果是双边序列，并且的圆位于收敛域内，那么该收敛域在域中一定是包含这一圆环的环状区域。（把分解为左、右边序列，收敛的区域即是两者都收敛的区域） |
性质7 | 如果的拉普拉斯变换是有理的，那么它的收敛域是被极点所界定的或延伸到无限远。另外，在收敛域内不包含的任何极点。 | 如果的变换是有理的，那么它的收敛域就被极点所界定，或者延伸至无限远。 |
性质8 | 如果的拉普拉斯变换是有理的，那么若是右边信号，则其收敛域在平面上位于最右边极点的右边；若是左边信号，则其收敛域在平面上位于最左边极点的左边。 | 如果的变换是有理的，并且是右边序列，那么收敛域就位于平面内最外层极点的外边，也就是半径等于极点中最大模值的圆外边。而且，若是因果序列，即为时等于零的右边序列，那么收敛域也包括。 |
如果的变换是有理的，并且是左边序列，那么收敛域就位于平面内最里层的非零极点的里边，也就是半径等于中除去的极点中最小模值的圆里边，并且向内延伸到可能包括。特别是，若是反因果序列，即为时等于零的左边序列，那么收敛域也包括。 | ||
因果性 | 1 一个因果系统的系统函数的收敛域是某个右半平面。 2 对于一个具有有理函数的系统来说，系统的因果性就等于收敛域位于最右边极点的右半平面。 | 1 一个离散时间线性时不变系统，当且仅当它的系统函数的收敛域在某个圆的外边，且包括无限远点时，该系统是因果的。 2 一个具有有理系统函数的线性时不变系统是因果的，当且仅当：（a）收敛域位于最外层极点外边某个圆的外边；并且（b）若表示成的多项式之比，其分子的阶次不能高于分母的阶次 |
稳定性 | 1 当且仅当系统函数的收敛域包括轴，即时，一个线性时不变系统就是稳定的。 2 当且仅当的全部极点都位于平面的左半平面时，也即全部极点都有负实部时，一个具有有理系统函数的因果系统才是稳定的。 | 1 一个线性时不变系统，当且仅当它的系统函数的收敛域包括单位圆时，该系统就是稳定的。 2 一个具有有理系统函数的因果线性时不变系统，当且仅当的全部极点的模均小于1时，该系统是稳定的。 |
单边拉普拉斯变换和z变换性质
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