傅里叶变换公式表信号与系统
2.3　名校考研真题详解
1．已知某一序列为x （n ），它的傅里叶变换表示为
（1）试画图举例说明序列x （2n ）与x （n ）的关系；
（
2）试求序列g （n ）＝x （2n ）的傅里叶变换，并说明
与的关系。
[武汉理工大学2007研]
解：（1）序列x
（n ）与x （2n ）的关系图2-1如下：图2-1
离散尺度变换只是去掉一些离散值。
（2
）已知g
（n ）＝x （2n ）
，设
根据离散傅里叶变换的尺度变换性质得：
其中F （n,2）又可写为：
由上最终可得：
2．已知x[k]的傅里叶变换，用表示信号
)(Ωj e H )(Ωj e H
的傅里叶变换
。[北京交通大学2006研]
解：已知x[k]的傅里叶变换，且
)(Ωj e H 根据已知
所以对y[k]进行傅里叶变换得：
3．线性时不变系统的输入为输出为
。
（1）求系统的单位抽样响应；
（2）判断系统的稳定性和因果性，并说明理由。[华东理工大学2004研]
解：（1）由Z 变换定义直接得：
同理，y （n ）的Z 变换为：
所以系统函数为：
对H（z）求Z逆变换得对应抽样响应为：
（2）由（1）知系统收敛域为3/4，包括单位圆和无穷远点，所以既是稳定的又是因果的。
4．若。请借助线性卷积与Z变换的定义，证明：时域卷积对应子Z域乘积，即。[南京邮电大学2000研]
证明：由线性卷积与Z变换的定义知：
即
5．序列x（n）的自相关序列c（n）定义为
试以x（n）的Z变换表示c（n）的Z变换。[北京理工大学2007研]
解：c（n）可以转化为：
根据Z变换的对称性得：
6．已知离散序列
试求x（n）的Z变换X（z），确定其收敛域，并画出X（z）的零极点图。[东南大学2007研]
解：由Z变换定义可得：
可能的零点为，其中；
显然k＝0时的零点和极点相互抵消了，所以该Z变换在z＝0处有（N－1）阶极点，零点为：，其中，对应的收敛域为时的零极点图如下图2-2所示：
图2-2
7．求的Z反变换。[中国地质大学（北京）2006研]
解：原式可化解为：
由于收敛域，故：
8．已知序列的双边Z变换为：
解：根据由部分分式展开法，可得：
可能对应以下序列：
① 当收敛域为∣z∣＞0.5时：
② 当收敛域为0.25＜∣z∣＜0.5时：
③ 当收敛域为∣z∣＜0.25时：
9．一个线性时不变因果系统由下列差分方程描述
。
（1）求系统函数；在Z 平面中画出它的零极点和收敛域；并判断系统的稳定性。
)(z H    （2）画出系统的幅频响应示意图，并说明系统的滤波特性。
（3）若输入x （n ）＝ 2cos （0.57πn ），请指出系统稳态输出的最大幅值。
[中国科学院西安光机所2003研]

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