知识文库 第20期
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信号与系统四种重要变换的联系和区别
林晓伟
1 四种重要变换的概念联系
信号的主要作用为传播信息，因此人们对信号的关注重点为该信号所携带的信息。而信号所携带的信息存在于其各个频率分量中。所以我们在第三章中讨论了周期信号的傅里叶级数分析，以傅里叶级数的方式分析了周期信号各频率分量所占的比重。然而，在自然界中，我们所遇到的信号不可能是理想的周期信号，而是有限能量的信号。因此，我们将周期信号的傅里叶级数推广到了非周期的有限能量信号的傅里叶变换。
随着时代的发展，我们对信号的需求由连续时间的模拟信号转移到了离散时间的数字信号中（模拟信号刚干扰能力较差，取样频率大于二倍的奈奎斯特频率信号就不会失真）。所以我们的研究方向从连续时间信号（模拟信号）傅里叶变换转移到了离散时间信号（数字信号）傅里叶变换中。
傅里叶分析可以解决信号分析中的许多问题，然而傅里叶分析也有其局限之处。例如，傅里叶分析并不能适用于不稳定信号的分析。因此我们需要将傅里叶分析进一步推广。相应的，连续时间傅里叶分析推广到了拉普拉斯变换；离散时间傅里叶变换推广到了z 变换。这两种变换与傅里叶变换共有的代数性质组合在一起，就形成了一整套重要的系统分析工具。
以上是DTFT、CTFT、LT 与ZT 的简要概述及其概念上的联系。可以简述为：将CTFT 推广可得到LT，将DTFT 推广可得到ZT，而将CTFT 离散化可得到DTFT，将LT 离散化可得到ZT。
2 四种重要变换的具体联系
四种变换都具有相似的性质，具体为线性、时移、频移、共轭、时间反转、时间尺度变换、时域微分，积分（离散形式为差分）、频域微分，积分等。以综合等式及分析等式为基础，运用这些性质可以获得一系列基本变换对，并由这些基本变换对得到一系列变换对从而对信号进行高效的分析。
可以简要的说明：拉普拉斯变换将频域从实数推广到了复数，频域也从实轴推广到了复平面，因此连续时间傅里叶变换成为了拉普拉斯变换的一种特例。当拉普拉斯变换中s 为纯虚数时，x(t)的拉普拉斯变换，即为x(t)的傅里叶变换。Z 变换之于离散时间傅里叶变换的关系亦如是，而当Z 变换中Z 的模为1即在频域上为单位圆时，Z 变换就变成了离散时间傅里叶变换。
3 四种重要变换分析的主要区别 3.1 收敛的区别 在傅里叶变换中，是否能够进行变换，只需判断该信号是否满足狄利克雷收敛条件即可。而在拉普拉斯变换和Z 变换中。是否收敛的判断转移到了当s 的实部或z 的模取到了某一定值时，信号是否满足狄利克雷收敛条件。因此在拉普拉斯变换及Z 变换中，相对傅里叶变换多出了收敛域的讨论。收敛域的讨论是这两种变换必不可少的一个步骤。因此，在写出拉普拉斯变换和Z 变换的时候，必须标记其收敛域。
3.2 性质的区别
连续时间变换信号的微分和积分性质在离散时间变换中变为了差分和累加性质。在Z 变换中讨论的时间反转性质在拉普拉斯变换中并未涉及，而在拉普拉斯变换中所讨论的初值和终值定理在Z 变换中变为只讨论初值定理。在傅里叶变换中所讨论的实信号的对称性和奇偶分解到了拉普拉斯变换和Z 变换中因信号及频域扩展到了复平面而并未加以叙述。
4 学习总结
傅里叶变换公式表信号与系统在信号与系统这门课程的学习中，让我感触最深且学到的最有用的一件事是：从另一个角度看问题。就像课程中学习的四种重要变换以及对周期信号傅里叶级数分析。若想从其定义出发即综合方程和分析方程来求的级数或者变换是极为困难的。因此我们不提倡用这样的方法去求解问题。转而从其性质及用定义很容易求得变换的基本变换对，来对不同的信号或者系统进行分析。这样的做法避免了繁杂的计算，
节省了时间，不失为学习信号与系统这门课最为有效的方法之一。而我“从另一个角度看问题”的感想不仅仅局限于信号与系统这门课程之中，更体现在了我对这个世界不同的理解。我们所生存的世界，hen 直观的理解成了在时间轴上不断向前的一个三维物体，然而四种重要变换告诉我，世界不仅仅可以看成时间上的变换，也可以看成是不同频率的加权组合。尽管在一个学期的学习中我对这样的想法并没有深刻钻研下去，但我想随着我对时间流逝的感觉加深，这样的想法伴随着我的人生将会在我的脑海里越来越清晰甚至形成直观的图像。我想，这将会对我对这个感知世界的理解产生颠覆性的作用。
最后，感谢张老师一个学期以来对我们的辛勤教导，老师在课程结束前不舒服依然坚持给我们传授知识让我十分感动！信号与系统这门课程的学习并不局限于大二的这个学期。我相信，在我们以后的专业课程甚至是未来的工作中，这门课程都会是一个不可或缺的角！祝老师身体健康，继续传授给我们更多的知识！
（作者单位：电子科技大学）
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