傅里叶变换和工程窗函数
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傅里叶变换
1. 傅里叶级数
周期函数的傅里叶级数(简称傅氏级数)是由正弦函数和余弦函数项组成的三角函数。 周期为T的任一周期函数f(t)，若满足下列狄里克雷条件:
1) 在一个周期内只有有限个不连续点;
2) 在一个周期内只有有限个极大和极小值点;
T/2
ftdt(),,T/23) 积分存在，
则f(t)可展开为如下傅氏级数:
,1ftaantbnt,，，,,()(cossin),0nn2n1, (F-1)
bann式中系数和由下式给出:
T/22aftntdtn,,,,()cos;(0,1,2,...,)n,T,T/2
T/22bftntdtn,,,,()sin;(0,1,2,...,)n,T,T/2
,,,2/T式中称为角频率
周期函数f(t)的傅氏级数还可以写为复数形式(或指数形式):
,jnt,ftae(),,nn,,, (F-2) 式中系数
T/21,,jntaftedt,()n,jt,Tetjt,，cossin,,,T/2 其中欧拉公式
如果周期函数f(t)具有某种对称性质，如为偶函数、奇函数，或只有偶次谐波，则傅氏级数中的某些项为0，系数公式可以简化，下表列出了具有几种对称性质的周期函数f(t)的傅氏级数简化结果:
ba对称性 特点 nn
T/24只有余ftft()(),,ft()ftntdt,()cos0 1111, 偶函数 弦项 T0
T/2只有正4ftft()(),,,ft()ftntdt,()sin0 2222 奇函数, 弦项 T0
只有偶次谐波T/2T/2只有偶44ft()ftntdt,ftntdt,()cos()sin333,, 数n ftTft(/2)(),,TT3300
只有奇次谐波T/2T/2只有奇44ft()ftntdt,ftntdt,()cos()sin444,, 数n ftTft(/2)(),,,TT4400
2. 傅里叶积分和傅里叶变换
任一周期函数只要满足狄里克雷条件，便可以展开为傅氏级数，对于非周期函数，因为其周期T为趋于无穷大，不能直接用傅氏级数展开，而要做某些修改，这样就引出了傅里叶积分。
,,,2/T0若f(t)为非周期函数，则可视它为周期T为趋于无穷大，角频率趋于0的
,,，,,,,(1)nn00周期函数，这时，在傅氏级数展开式中，各个相邻的谐波频率之差便
余弦函数的傅里叶变换公式n,,,0很小，谐波频率须用一个变量代替【注意，此处不同于(F-1)所述的角频率】。这样，式(F-2)便可改写为:
,jt,fte(),,,,n,,, (F-3)
T/2,,,,jtftedt(),,,,2,,T/2
于是便得:
TT/2/2,,,,1,,,,,,jtjtjtjtftftedteftedte()[()][()],,,,,,,,22,,,,,,,,nn,,TT/2/2
,,d,,当T—>时，—>，求和式变为积分式，上式可写为:
,,1jtjt,,,ftftedted,,()[()],,,2,,,, (F-4) 若令
,jt,,Fftedt()(),,,,, (F-5)
,1jt,ftFed,,,()(),2,,, (F-6)
F(),FFft()[()],,F(),称为f(t)的傅氏变换，记为，而f(t)称为的傅氏反变换，记为
,1ftFF()[()],,。
非周期函数f(t)必须满足狄里克雷条件才可以进行傅氏变换，而且狄里克雷的第三条
,
ftdt(),,,件这时应修改为积分存在。
时域卷积对应于频域相乘，根据傅里叶变换的对称性，时域相乘必然和频域卷积相对应
拉普拉斯变换
工程实践中常用的一些函数，如阶跃函数，它们往往不能满足傅氏变换条件，如果对这种函数稍加处理，一般都能进行傅氏变换，于是就引入了拉普拉斯变换，简称拉氏变换。
,对于任意函数f (t)，如果不满足狄里克雷第三条件，一般是因为当时，t—f(t)>衰变太
,,t,,te(0),,e,慢，用因子乘以f(t)，则当t—>时衰减就快得多了。通常把叫做收敛因
,,子。但由于它在t—>时，起相反作用，为此假设t<0时，f(t)=0。这个假设在实际上是可以做
到的，因为我们总可以把外作用加到系统上的开始瞬间选为t=0，而t<0时的行为，即外作用加到系统之前的行为，可以再初始条件内考虑。这样，我们对函数f(t)的研究，
,,tfte(),就变为在时间t=0—>区间对函数的研究，并称之为f(t)的广义函数，它的傅里叶变换为单边傅氏变换，即:
,,,,,,tjtjt(),,,，Ffteedtftedt()()(),,,,,,00
sj,，,,若令，则上式可写为:
,s,,st,()()()FFsftedt,,,,j0 (L-1)
sj，,1stftFseds,()(),,2sj,,而 (L-2)
Fs()FsLft()[()],上式中叫做f(t)的拉氏变换，也称象函数，记为
,1Fs()ftLFs()[()],而f(t)叫做的拉氏反变换，也称原函数，记为
拉普拉斯变换的基本特性
基本运ft()FsLft()[()], 算
拉氏变,ft()st, Fsftedt()(),换定义 ,0
位移(时,,s0ftt()1(),,,,eFs(),0,,000 间域)
相似性 1sfat()Fa(),0, aa 一阶导dft()sFsf()(0), 数 dt
n阶导数 nnnn,,,12'(1)nsFssfsff()(0)(0)...(0),,,dft() ndt
不定积1,1ftdt()，[()(0)]Fsf,分 s 定积分 1tFs()ftdt()s ,0
函数乘dtft(),Fs() 以t ds 函数除,ftt()/ Fsds()以t ,s 位移(s,atFsa()，eft() 域)
初始值 ft()sFs()limlimt,0s,,，
终值 ft()sFs()limlimt,,s,0 卷积 tFsFs()()12 ftftfftd()*()()(),,,,,1212,0
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