复变函数复习重点
(一)复数的概念
1.复数的概念：，是实数, ..
  注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.
2.复数的表示   
1）模：；
2）幅角：在时，矢量与轴正向的夹角，记为（多值函数）；主值是位于中的幅角。
3）与之间的关系如下：
  当 ；
  当；
4）三角表示：，其中；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：，其中。
(二) 复数的运算
1.加减法：若，则
2.乘除法：
1）若，则
；
  。
2）若, 则
； 
3.乘幂与方根
1）若，则。
2）若，则
（有个相异的值）
（三）复变函数
1．复变函数：，在几何上可以看作把平面上的一个点集变到平面上的一个点集的映射.
2．复初等函数
1）指数函数：，在平面处处可导，处处解析；且。
注：是以为周期的周期函数。（注意与实函数不同）
3）对数函数： （多值函数）；
主值：。（单值函数）
的每一个主值分支在除去原点及负实轴的平面内处处解析，且；
注：负复数也有对数存在。（与实函数不同）
3）乘幂与幂函数：；
注：在除去原点及负实轴的平面内处处解析，且。
4）三角函数：
在平面内解析，且
傅里叶变换公式性质
注：有界性不再成立；（与实函数不同）
4）双曲函数  ；
奇函数，是偶函数。在平面内解析，且。
（四）解析函数的概念
1．复变函数的导数
1）点可导：=；
2）区域可导： 在区域内点点可导。
2．解析函数的概念
1）点解析： 在及其的邻域内可导，称在点解析；
2）区域解析： 在区域内每一点解析，称在区域内解析；
3）若在点不解析，称为的奇点；
3．解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；
（五）函数可导与解析的充要条件
1．函数可导的充要条件：在可导
和在可微，且在 处满足条件：
此时， 有。
2．函数解析的充要条件：在区域内解析
和在在内可微，且满足条件：；
此时。
注意： 若在区域具有一阶连续偏导数，则在区域内是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明具有一阶连续偏导且满足条件时，函数一定是可导或解析的。

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