⼆维离散余弦变换（2D-DCT）
图像处理中常⽤的正交变换除了傅⾥叶变换以外，还有⼀些其它常⽤的正交变换，其中离散余弦变换DCT就是⼀种，这是JPEG图像压缩算法⾥的核⼼算法，这⾥我们也主要讲解JPEG压缩算法⾥所使⽤8*8矩阵的⼆维离散余弦正变换。
⼀维离散余弦变换
⼀般表达式
要弄懂⼆维离散余弦变换，⾸先我们需要先了解它在⼀维下的情况，具体表达式如下：
式中F(u)是第u个余弦变换值，u是⼴义频率变量，u=1,2,….,N-1;f(x)是时域N点序列。x= 1,2,….,N-1;
矩阵表⽰法
更为简洁的定义离散余弦变换是采⽤矩阵式定义。根据以上公式定义可知，我们可以来推导⼀下，DCT变换可以⽤矩阵的形式表⽰出来，例当N=8时⼀维离散余弦变换的表达式展开可以得到如下表达式： u=1,2, (7)
当u=0,1，...，7时，我们可以根据上述公式计算出离散余弦变换时每⼀个f(x)前⾯的变换系数如下：
上式可以⽤矩阵的形式表达出来
F(u)为变换域矩阵，是时域f(x)与A矩阵计算的结果；A为变换系数矩阵，当N取定值时，A就是⼀个常量矩阵；f(x)为时域数据矩阵，即需要转换到变换域的原始数据，则⼀维离散余弦变换的矩阵定义式可写成下⽅表达式：
傅里叶变换公式性质⼆维离散余弦变换
⼆维离散余弦变换可由下列表达式表⽰
6是⼆维离散余弦变换的正变换公式，其中f(x,y)是空间域⼀个N*N的⼆维向量元素，即⼀个N*N的矩阵，x,y = 0,1,2，…，N-1;F(U,V)是经计算后得到的变换域矩阵，u,v = 0,1,2，….，N-1.求和可分性是⼆维离散余弦变换的⼀个重要特征，因此我们可以⽤下式表⽰6：
由⼀维和⼆维的离散余弦变换公式性质可以推导得到⼆维离散余弦变换也可以写成矩阵相乘形式
A为⼀维离散余弦变换的变换系数矩阵，A T是A的转置矩阵
对图像进⾏⼆维离散余弦变换（2D-DCT）的步骤
1.获得图像的⼆维数据矩阵f(x,y)；
2.求离散余弦变换的系数矩阵A；
3.求系数矩阵对应的转置矩阵A T；
4.根据公式F=A[f(x,y)]A T计算离散余弦变换；

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