在数学与信号处理的领域中，一个实数值函数的希尔伯特转换(Hilbert transform)——在此标示为——是将信号与做卷积，以得到。因此，希尔伯特转换结果可以被解读为输入是的线性非时变系统(linear time invariant system)的输出，而此一系统的脉冲响应为。这是一项有用的数学，用在描述一个以实数值载波做调制的信号之复数包络(complex envelope)，出现在通讯理论（应用方面的详述请见下文。）
希尔伯特转换是以著名数学家大卫·希尔伯特(David Hilbert)来命名。
希尔伯特转换定义如下：傅里叶变换公式原理
其中
并考虑此积分为柯西主值(Cauchy principal value)，其避免掉在以及等处的奇点。
另外要指出的是：
若，则可被定义，且属于；其中。
频率响应
希尔伯特转换之频率响应由傅立叶变换给出：
, 
其中
∙ 是傅立叶变换，
∙ i (有时写作j )是虚数单位，
∙ 是角频率，以及
∙
即为符号函数。
既然：
,
希尔伯特转换会将负频率成分偏移+90°，而正频率成分偏移−90°。
反（逆）希尔伯特转换
我们也注意到：。因此将上面方程式乘上，可得到：
从中，可以看出反（逆）希尔伯特转换
傅里叶变换（Fourier变换）是一种线性的积分变换。因其基本思想首先由法国学者约瑟夫·傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。
傅里叶变换在物理学、声学、光学、结构动力学、量子力学、数论、组合数学、概率论、统计学、信号处理、密码学、海洋学、通讯、金融等领域都有着广泛的应用。例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成振幅分量和频率分量。
∙ 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的[1]。
∙ 傅里叶变换属于谐波分析。

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