专题05 函数实际问题之销售中的利润问题（解析版）
一、利润中的几个等量关系：
售价=进价+利润；
售价=标价×折扣；
总利润=单件（单个商品）利润×总销量；
二、需要注意的是，在利用函数解答实际问题的过程中，一定要注意自变量的取值范围，以及在这个取值范围内的函数值的最大值及最小值；切不可直接用原函数的最值当作实际问题的最值；
避免出现错误的方法是：作出示意图，由图象分析函数值的最值.
题型一、利润问题应用题
1. （2019·江苏连云港中考）某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可
获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元．设该工厂生产了甲产品x（吨），生产甲、乙两种产品获得的总利润为y（万元）．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）若每生产1吨甲产品需要A原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要A原料0.5吨．受市场影响，该厂能获得的A原料至多为1000吨，其它原料充足．求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润．
【答案】见解析.
【解析】解：
（1）y=0.3x+0.4(2500－x)=－0.1x+1000，
（2）由题意得：0.25x+0.5（2500－x）≤1000，
解得：x≤2500，即1000≤x≤2500，
由（1）知，y=－0.1x+1000，
∵－0.1<0，
∴y随x的增大而减小，
当x=1000时，y取最大值，此时甲产品1000吨，乙产品1500吨时能获得最大利润.
2. （2019·江苏宿迁中考）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件.根据市场调查发现.销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件. 设销售单价增加x元，每天售出y件.
（1）请写出y与x之间的函数表达式；
（2）当x为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？
（3）设超市每天销售这种玩具可获利w元，当x为多少时w最大，最大值是多少？
【答案】见解析.
【解析】解：（1）y=x+50.
（2）由题意得：y（x+40）=2250，
即（x+50）（x+40）=2250，
解得：x=50（舍）或x=10，
即当x=10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元.
（3）由题意知，w= y（x+40）
=（x+50）（x+40）
=（x－30）2+2450，
∵<0，对称轴为x=30，
∴当0≤x≤20时，w随x的增大而增大，即当x=20时，w取最大值，最大值为：2400.
3. （2019·湖北鄂州中考）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐. 某网店专售一款休闲
裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条.为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施. 据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条. 设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条.
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生. 为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？
【答案】见解析.
【解析】解：（1）y＝100+5（80－x）或y＝－5x+500
（2）由题意，得：
W=(x-40)( －5x+500)
=-5x2+700x-20000
=-5(x-70)2+4500，
∵a=-5<0，
∴w有最大值
即当x=70时，w最大值＝4500
∴应降价80－70＝10（元）
（3）由题意，得：-5(x-70)2+4500＝4220+200
解得：x1＝66，x2 ＝74
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=70，
∴当66≤x≤74时 ，符合该网店要求，而为了让顾客得到最大实惠， 
故x＝66 
∴当销售单价定为66元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠.
题型二、图表类利润最值问题
4. （2019·青岛中考）某商店购进一批成本为每件 30 元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.
（1）求该商品每天的销售量 y 与销售单价x之间的函数关系式；
（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于 50 元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？
（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于 800 元，则每天的销售量最少应为多少件？
【答案】见解析.
【解析】解：
（1）设商品每天的销售量 y 与销售单价x之间的函数关系式为y=kx+b，
由题意知，，
解得，，
即y关于x的函数解析式是：y＝﹣2x+160；
（2）30≤x≤50，
w=（x－30）y
=（x－30）（﹣2x+160）
=－2（x－55）2+1250
∵30≤x≤50，
∴当x=50时，w取最大值为1200元；
（3）w≥800，w=－2（x－55）2+1250的图象如下所示，
从图中可知，当x1≤x≤x2时，w不低于800元，
∴－2（x－55）2+1250=800，
解得：x1=40，x2=70，
∴40≤x≤70时，每天的利润不低于800元，
故每天的销售量最少应为﹣2×70+160=20件.
5. （2019·成都中考）随着5G技术的发展，人们对各类5G产品的使用充满期待. 某公司计划某地区销售一款5G产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化. 设产品在第x（x为正整数）个销售周期每台的销售价格为y元，y与x之间满足如图所示的一次函数关系.
（1）求y与x之间的关系式；
（2）设产品在第x个销售周期的销售数量为p（万台），p与x之间的关系为: ,根据以上信息，试问:哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品的销售价格是多少元？
【答案】见解析.
【解析】解：（1）设y与x之间的关系式为y=kx+b，由题意知，
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