双曲函数
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双曲函数
在数学中，双曲函数类似于常见的（也叫圆函数的）三角函数。基本双曲函数是双曲正弦“sinh”，双曲余弦“cosh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。也类似于三角函数的推导。反函数是反双曲正弦“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”）以次类推
目录
双曲函数的作用
定义
实变双曲函数图像的基本性质
复变中的双曲函数?
1. 1、定义
2. 2、性质
双曲函数与三角函数的关系
恒等式
1. 加法公式
2. 减法公式
3. 二倍角公式
4. 半角公式
5. 三倍角公式
反双曲函数
双曲函数与反双曲函数的导数
双曲函数与反双曲函数的不定积分
双曲函数与反双曲函数的级数表示
实际应用
1. 1、阻尼落体
2. 2、导线电容
3. 3、粒子运动轨迹
4. 4、非线性方程求解
5. 悬链线(Catenary)
参考文献
双曲函数的作用
定义
实变双曲函数图像的基本性质
复变中的双曲函数?
1. 1、定义
2. 2、性质
双曲函数与三角函数的关系
恒等式
1. 加法公式
2. 减法公式
3. 二倍角公式
4. 半角公式
5. 三倍角公式
反双曲函数
双曲函数与反双曲函数的导数
∙ 双曲函数与反双曲函数的不定积分
∙ 双曲函数与反双曲函数的级数表示
∙ 实际应用
1. 1、阻尼落体
2. 2、导线电容
3. 3、粒子运动轨迹
4. 4、非线性方程求解
5. 悬链线(Catenary)
∙ 参考文献
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编辑本段双曲函数的作用
双曲函数（hyperbolic function）可借助指数函数定义
Sinh_cosh_tanh
双曲正弦
sh z ＝(e^z-e^(-z))/2 （1）
双曲余弦
ch z ＝(e^z+e^(-z))/2 （2）
双曲正切
th z ＝ sh z /ch z ＝(e^z-e^(-z))/(e^z+e^(-z)) （3）
双曲余切
cth z ＝ ch z/sh z＝(e^z+e^(-z))/(e^z-e^(-z)) （4）
双曲正割
sech z ＝1/ch z （5）
双曲余割
csch z ＝1/sh z （6）
其中，指数函数（exponential
Csch_sech_coth
function）可由无穷级数定义
e^z＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋… （7）
双曲函数的反函数（inverse hyperbolic function）分别记为ar sh z、ar ch z、ar th z等。
编辑本段定义
在数学中，双曲函数类似于常见的三角函数（也叫圆函数）。基本双曲函数是双曲正弦“sinh”，双曲余弦“cosh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。也类似于三角函数的推导。反函数是反双曲正弦“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”）以此类推。
因为双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。
双曲函数接受实数值作为叫做双曲角的自变量。在复分析中，它们简单的是指数函数的有理函数，并因此是完整的。
射线出原点交双曲线 x2 − y2 = 1 于点 (cosh a,sinh a)，这里的 a 被称为双曲角，是这条射线、它关于 x 轴的镜像和双曲线之间的面积。定义
双曲函数（Hyperbolic Function）包括下列六种函数：
sinh / 双曲正弦： sinh(x) = [e^x - e^(-x)] / 2
cosh / 双曲余弦： cosh(x) = [e^x + e^(-x)] / 2
tanh / 双曲正切： tanh(x) = sinh(x) / cosh(x)=[e^x - e^(-x)] / [e^x + e^(-x)]
coth / 双曲余切： coth(x) = cosh(x) / sinh(x) = [e^x + e^(-x)] / [e^(x) - e^(-x)]
sech / 双曲正割： sech(x) = 1 / cosh(x) = 2 / [e^x + e^(-x)]
csch / 双曲余割： csch(x) = 1 / sinh(x) = 2 / [e^x - e^(-x)]
其中，
e是自然对数的底
e≈2.71828 = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5!...+ 1/n! +...
e^x 表示 e的x次幂,展开成无穷幂级数是:
e^x=x^0/0! + x^1/1! + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + x^5/5!...+ x^n/n! +...
如同点 (cost,sint) 定义一个圆，点 (cosh t, sinh t) 定义了右半直角双曲线 x^2 − y^2 = 1。这基于了很容易验证的恒等式
cosh^2(t) - sinh^2(t) = 1
和性质 t > 0 对于所有的 t。
双曲函数是带有复周期 2πi 的周期函数。
参数 t 不是圆角而是双曲角，它表示在 x 轴和连接原点和双曲线上的点 (cosh t, sinh t) 的直线之间的面积的两倍。
函数 cosh x 是关于 y 轴对称的偶函数。
函数 sinh x 是奇函数，就是说 -sinh x = sinh -x 且 sinh 0 = 0。
编辑本段实变双曲函数图像的基本性质
y=sinh(x).定义域：R.值域：R.奇函数.函数图像为过原点并且穿越Ⅰ,Ⅲ象限的严格单调递增曲线,当x->+∞时是(1/2)e^x的等价无穷大.函数图像关于原点对称.
y=cosh(x).定义域：R.值域：[1,+∞).偶函数.函数图像是悬链线，最低点是(0,1),在Ⅰ象限部分是严格单调递增曲线，当x->+∞时是(1/2)e^x的等价无穷大.函数图像关于y轴对称.
y=tanh(x).定义域：R.值域：(-1,1).奇函数.函数图像为过原点并且穿越Ⅰ,Ⅲ象限的严格单调递增曲线.其图像被限制在两渐近线y=1和y=-1之间.lim[x->+∞,tanh(x)=1],lim[x->-∞,tanh(x)=-
1].
y=coth(x).定义域：{x|x≠0}.值域：{x||x|>1}.奇函数.函数图像分为两支,分别在Ⅰ,Ⅲ象限,函数在(-∞,0)和(0，+∞)分别单调递减.垂直渐近线为y轴，两水平渐近线为y=1和y=-1.lim[x->+∞,coth(x)=1],lim[x->-∞,coth(x)=-1].
y=sech(x).定义域：R.值域：(0,1].偶函数.最高点是(0,1),函数在(0,+∞)严格单调递减.x轴是其渐近线.lim[x->∞,sech(x)]=0.
y=csch(x).定义域：{x|x≠0}.值域：{x|x≠0}.奇函数.函数图像分为两支,分别在Ⅰ,Ⅲ象限,函数在(-∞,0)和(0，+∞)分别单调递减.垂直渐近线为y轴，两水平渐近线为x轴sqrt是什么的缩写.lim[x->∞,csch(x)]=0.
双曲函数名称的变更：sh也叫sinh, ch也叫cosh
编辑本段复变中的双曲函数?
1、定义
双曲正弦： sh(z) = [e^z - e^(-z)] / 2
双曲余弦： ch(z) = [e^z + e^(-z)] / 2
2、性质
解析性：shz,chz是全平面的解析函数
周期性：shz,chz是周期函数，周期为2πi,这是完全不同于实变函数中的性质
编辑本段双曲函数与三角函数的关系
双曲函数与三角函数有如下的关系:
* sinh x = -i * sin(i * x)
* cosh x = cos(i * x)
* tanh x = -i * tan(i * x)
* coth x = i * cot(i * x)
* sech x = sec(i * x)
* csch x = i * csc(i * x)
i 为虚数单位,即 i * i = -1
编辑本段恒等式
与双曲函数有关的恒等式如下:
cosh^2(x) - sinh^2(x) =1
coth^2(x)-csch^2(x)=1
tanh^2(x)+sech^2(x)=1
加法公式
sinh(x+y) = sinh(x) * cosh(y) + cosh(x) * sinh(y)
cosh(x+y) = cosh(x) * cosh(y) + sinh(x) * sinh(y)
tanh(x+y) = [tanh(x) + tanh(y)] / [1 + tanh(x) * tanh(y)]
coth(x+y)=(1+coth(x) * coth(y))/(coth(x) + coth(y))
减法公式
sinh(x-y) = sinh(x) * cosh(y) - cosh(x) * sinh(y)
cosh(x-y) = cosh(x) * cosh(y) - sinh(x) * sinh(y)
tanh(x-y) = [tanh(x) - tanh(y)] / [1 - tanh(x) * tanh(y)]
coth(x-y)=(1-coth(x) * coth(y))/(coth(x) - coth(y))
二倍角公式
sinh(2x) = 2 * sinh(x) * cosh(x)
cosh(2x) = cosh^2(x) + sinh^2(x) = 2 * cosh^2(x) - 1 = 2 * sinh^2(x) + 1
tanh(2x) = 2tanh(x)/(1+tanh^2(x))
coth(2x) = (1+coth^2(x))/2coth(x)
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