银行间债券市场利率期限结构建模分析
朱世武
（清华大学经济管理学院, 北京，100084）
摘要：本文采用数据挖掘与金融理论相结合的方法，从监管和投资两方面的角度出发、提出了银行间债券市场利率期限结构的5个评价标准。在对所有成熟的期限结构模型进行拟合及全方位分析的基础上，给出了一套银行间债券市场利率期限结构建模方案。实证检验表明，本文给出的债券样本选择、价格处理、异常点剔除、模型选择与期限结构的拟合方案很好地解决了构建银行间债券市场期限结构遇到的难题，目前的银行间债券市场数据可以构建合理的期限结构，最适合的模型是Nelsen Siegel模型。本文研究具有一定的现实意义。
关键词：银行间债券市场、利率期限结构、样条法、Nelsen Siegel模型
一、引言
银行间债券市场始于1997年6月16日，2003年底，银行间债券市场的存量已达3.4万亿，行间同业拆借与债券交易系统总计成交17.2万亿元人民币，日均成交684.8亿元（中国货币网2003市场概述）。目前，大多数国债及金融债都是通过银行间市场发行并交易，债券的到期年限已经达30年，期限结构的构造条
件已基本建立。正如许多发达国家的中央银行都发布自己的利率期限结构作为各方面的参照那样，目前，中国银行间市场急需构建一个合理的期限结构。
国债市场所形成的利率期限结构对整个金融市场利率体系的定价具有重要的参照意义。在中国，推动利率市场化进程的关键步骤之一就是构建合理的利率期限结构。
外汇交易中心暨全国银行间同业拆借中心于2003年年初在新版交易系统中加入了市场分析与风险管理系统，并通过中国货币网公布银行间债券市场每天的期限结构。但是，从中国货币网所公布的利率期限结构来看，很多时候收益率曲线的形状十分奇怪，从专业人士的角度看来，收益率曲线并不合理。本文正是基于这一背景，对银行债券间市场构建期限结构这一难题进行全面彻底的研究。
本文共分为六部分。第一部分引言提出本文的背景和研究意义；第二部分简单介绍成熟的期限结构模型；第三部分指出现有货币网所公布期限结构存在的一些问题；第四部分针对银行间市场的特点提出合理利率期限结构的判断标准; 第五部分给出了银行间债券市场利率期限结构建模方案设计；最后一部分为建模结果实证分析与结论。其中，第四、五部分是本文的创新与核心内容。
二、利率期限结构模型
期限结构模型可以分为两大类，一类是经济模型，包括均衡模型和无套利模型；另一类是数量模型，
如图1所示。经济模型主要是通过经济和金融原理（如均衡原理、无套利原理）建立利率的随机微分方程，通过这些微分方程推导出利率期限结构。经典的均衡模型有Vasicek、CIR和Merton等。由于并没有引入市场上各种债券的实际价格信息，均衡模型所推导的只是一个理论上的期限结构，与实际中可观察的期限结构并不一定一致。而经典无套利模型主要有Ho-Lee模型。这个模型利用市场上债券的价格信息通过无套利关系推导出短期利率的随机微分方程参数，从而转换为利率期限结构，因此期限结构能够与市场上观察到
的债券价格信息保持一致。但无论是均衡模型还是无套利模型，其模型建立的基本假设是债券市场是高度有效的，市场中能够形成远期价格以及有卖空机制。因为中国市场债券市场还远没有达到这些模型的基本假设，因此也进一步限制了这些模型在中国的应用。而且这些模型多数用于理论研究和对利率衍生品的定价，而在利用市场债券价格信息建立期限结构方面主要还是依赖于数量模型。
图1  期限结构模型分类
（一）数量类利率期限结构模型的原理和特点
数量模型主要是在20世纪70年代发展起来的。由于期限结构指的是零息债券的收益率与其到期日间之关系，而国内市场上所能观察到的债券则多为附息债券，因此欲以附息债券数据推导期限结构，须先调整“息票效应”(Coupon Effect)。息票效应是指：对于剩余到期期限相同的债券来说，它们的到期收益率不仅与当前的利率期限结构有关，还与它们的票面利率水平有关。对于相同的即期利率期限结构而言，由于到期收益率是这些即期利率的加权平均，而权重是各个现金流的现值。因此，债券的票面利率不一样时，权重也不一样，由此产生的息票效应使得相同期限结构债券的到期收益并相同。于是，在有多种票面利率标准的条件下，简单以某个债券的到期收益率代表那个期限的利率水平必然会产生一定的误差。
最先解决“息票效应”并从附息国债中估算期限结构的是MoCulloch（1971，1975），MoCulloch应用二次、三次多项式样条方法于期限结构模型，为后来的研究者奠定了良好的基础。相对于参数化模型的整段拟合，样条函数是一种分段拟合技术。根据Weierstrass逼近定理，给定区间的任何连续函数都可以被一个函数集合任意逼近。样条函数拟合即根据该理论，采用一个依赖于债券剩余期限的函数集合来逼近一个假定为连续的贴现函数或收益率函数。
尽管多项式样条能够较好地起到拟合期限结构的作用，但是仍然存在一些缺陷：如推导出的远期利率
曲线相当不稳定，利率曲线的尾部容易出现剧烈的振荡等。这导致了后来的学者提出新的模型对这些问题作出修正。而比较著名的模型有Vasicek和Fong（1982）所提出的指数样条法以及Steeley（1991）提出的B样条法。
与样条函数模型相对的是节约型模型。节约型模型并不是分段拟合期限结构，而是通过几个收敛指数函数的叠加来拟合利率曲线。相比于样条模型，节约型模型所需要估计的参数更少。节约型模型的主要代表是Nelsen -Siegel（1987）模型。但由于模型所形成的利率
曲线形状比较少，还不是很灵活，Svensson （1994）扩展了这个模型。
实证检验表明，上述的几种模型都是拟合效果较好的模型，并在实践应用当中日渐成为成熟的期限结构模型。这些模型都有其自身的特点，下面对这些模型的原理和优缺点进行分析比较。
多项式样条
多项式样条法假设利率期限结构以贴现因子表示，而且贴现因子是到期期限t 的连续函数()D t 。并进一步假设这个函数是一个多项式分段函数。在运用此函数时，仔细选择多项式的阶数是至关重要的。阶数的多少决定了利率曲线的平滑程度和拟合程度，同时也影响到待估参数的数量。一般将多项式样条函数的阶数定为3。这是因为，当多项式样条函数为二阶时，()D t 的导数()2()D t 是离散的，而且当阶数过高（四阶或五阶）时，验证三阶或四阶导数是否连续的难度将增大。
三阶多项式样条函数的形式如下：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++==...........)()()()(332333332222223121111t
d t c t b a t D t d t c t b a t D t d t c t b a t D t D    ],[],[],0[32211T T t T T t T t ∈∈∈ 可以看出，本式中有12个参数。对于即期贴现率函数()D t 来说，显然有(0)1D =。另外，为了保证分段函数的平滑性以及在分段点的平滑过渡，必须保证贴现函数在整个定义域内连续且一、二阶可导，还需要满足如下约束条件：
()()()()1111221()()()()()()i i i i i i i i i
i i i D T D T D T D T D T D T +++=⎧⎪=⎨⎪=⎩
样条函数的分段数量也是应用该模型当中需要注意的一个问题。在对此进行实证检验后，凯努尼（Kanony ）和蒙克瑞（Mokrane ）（1992）以及迪隆（Dealon ）和戴瑞（Derry ）（1994），得出了如下两个结论：
⑴样条值越大，参数就越多，模型的拟合程度（closeness of fit ）就越好，但曲线平滑度越差。当样
条值增加时，曲线对异常数据就越敏感，理论价格和实际价格的差距将越来越小。这样当我们对样本之外的债券进行定价时，拟合程度就会不如样本数据那么高。也就是说，样条值越大，拟合出来的利率曲线对样本外的债券的适用性将会降低，从而不能很好的对样本外的债券定价，也无法挑选出价格异常的债券。
⑵样条值越小，则曲线越平滑，估计的参数也较少。另一方面，如果发生一些微小的干扰时，将会引起显著的误差，这意味着，曲线拟合的程度不高。
因此，当选择样条数量时，必须进行权衡，既不要太多，也不要太少。通常的选择是三段样条。
样条分界点的选取也十分重要。德肯（Deacon ）和戴瑞（Derry ）（1994）证明了当样条分界点发生变化时，远期利率曲线水平常会发生显著变化。希尔（1984）认为，每个样条所包括的债券数目应该相同，因此，样条分界点也就由此决定。而普里奥莱特（1997）认为样
steele条分界点的选择应该能反映出债券市场的自然分隔局面。
通常采用的多项式模型是三次三段模型。但是这种模型也容易出现问题，因为三次样条，特别是有大量节点的三次样条函数趋向于震荡。然而对于收益率曲线而言，在长期的一段出现大的震荡意味着债券期望价格的大幅波动，这在经济学意义上是一种不符合常理的表现。可以利用平滑技术来解决这个问题，即在目标函数增加一个粗糙惩罚函数（penalty function ）来控制震荡。
指数样条
指数样条函数是Vasicek 和Fong 在1982年提出的。其原理也与多项式样条类似，只是在函数形式上略有不同。而F 系统中所采用的正是指数样条模型。模型中同样建立了一个贴现因子函数，其形式为：
231111123222222333333()()()()...........ut ut ut
ut ut ut ut ut ut D t a b e c e d e D t a b e c e d e D t D t a b e c e d e
−−−−−−−−−⎧=+++⎪=+++⎪=⎨=+++⎪⎪⎩
],[],[],0[32211T T t T T t T t ∈∈∈ 为了保证分段函数的平滑性以及在分段点的平滑过渡，也必须保证贴现函数在整个定义域内连续且一、二阶可导，还需要满足如下约束条件：
()()()()1111221()()()()()()i i i i i i i i i i i i D T D T D T D T D T D T +++=⎧⎪=⎨⎪=⎩
指数样条模型也容易导致远期利率曲线不稳定，并且其参数估计须采用非线性最优化。
Nelson-Siegel 模型
Nelson-Siegel （尼尔森-辛戈尔）模型是Charles Nelson 和Andrew Siegel 在1987年提出的一个参数
拟合模型。这个模型提出的时间在样条拟合方法之后，一部分的原因是这个模型可以克服样条拟合方法的一些缺点（曲线尾部的震荡）。该模型通过建立远期瞬时利率的函数，从而推导出即期利率的函数形式。该模型的一个最大的好处就是需要估计的参数相对少，因此特别适合于估计债券数量不多情况下的利率期限结构，而且这些参数都有很明显的经济学含义，使得模型本身很容易被理解。
尼尔森和辛戈尔推导了一个瞬间远期利率公式：
012111(0,)exp()exp(f θθθθβββτττ⎛⎞=+−+−⎜⎟⎝⎠
容易看出，公式形式与那些描述利率动态变化常微分方程解的表达式十分类似。瞬间远期利率(0,)f θ表示在0时刻计算，在未来时刻θ发生的期限为无限短的利率。在这里，1τ是适合于该方程的一个时间常数，0β,
1β和2β是待估计参数。 利用01
(0,)(0,)R f s ds θ
θθ=∫ 得到：
110121111exp()1exp()(0,)exp
R θθττθθβββθθτττ⎡⎤⎡⎤−−−−⎢⎥⎢⎥⎛⎞⎢⎥⎢⎥=++−−⎜⎟⎢⎥⎢⎥⎝⎠⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
这就是Nelson-Siegel 模型的基本表达形式。当固定0β时，通过1β和2β的不同组合，这个方程能够产生大家所熟悉的远期利率曲线的各种形状，如单调型、水平和倒置型曲线。转换为即期利率曲线时，也能表现类似的形状，但却无法推导出形状更为复杂的利率曲线，例如V 形和驼峰形曲线。使得曲线对短期和中期的利率拟合程度不够好。为了克服原模型拟合灵活性不足的问题，Svensson （1994）提出了一个对Nelson-Siegel 方程的扩展形式。即再引入一个新的参数3β。这样瞬间远期利率可以表示为
012311122(0,)exp()exp()exp(f θθθθθθββββτττττ⎛⎞⎛⎞=+−+−+−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠
从瞬间远期利率的公式当中，可以看出远期利率实质上是由短期、中期和长期利率三部分组成的。
代表长期利率的是参数0β，它表示瞬间远期利率曲线(0,)f θ的渐近线，随着到期期限θ的增大，(0,)f θ的曲线应趋向于0β的值。而1β代表短期利率部分，它是瞬间远期利率曲线向渐近线的趋近速度的因素。若它为正数，则瞬间远期利率曲线是随着期限的增大而下降的，反之则瞬间远期利率曲线随着期限的增大而上升。2β和3β分别代表不同的中期利率部分，它们决定了瞬间远期利率曲线极值点的性质和曲度。1τ、2τ是正数，与瞬间远期利率曲线的横坐标相对应，标志了远期利率曲线的极值点出现的位置。
即期利率是远期利率的一个平均，通过积分可以得到即期利率的表达形式。
1101211123221exp()1exp()(0,)exp 1exp()              exp R θθττθθβββθθτττθτθβθττ⎡⎤⎡⎤−−−−⎢⎥⎢⎥⎛⎞⎢⎥⎢⎥=++−−+⎜⎟⎢⎥⎢⎥⎝⎠⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎡⎤−−⎢⎥⎛⎞⎢⎥−−⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎢⎥⎣⎦
得到了即期利率的表达形式后，可以求得贴现因子()(,)exp(,)D t t R t θθθ+=−⋅。扩展后的函数在计算短期债券价格时的灵活性大大增强。整个目标函数的最小化决策就是确定参数1τ，2τ，0β，1β，2β和3β。

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