第四讲 Matlab求解微分方程（组）
理论介绍：Matlab求解微分方程（组）命令
求解实例：Matlab求解微分方程（组）实例
实际应用问题通过数学建模所归纳得到的方程，绝大多数都是微分方程，真正能得到代数方程的机会很少.另一方面，能够求解的微分方程也是十分有限的，特别是高阶方程和偏微分方程（组）.这就要求我们必须研究微分方程（组）的解法：解析解法和数值解法.
一．相关函数、命令及简介
1.在Matlab中，用大写字母D表示导数，Dy表示y关于自变量的一阶导数，D2y表示y关于自变量的二阶导数，依此类推.函数dsolve用来解决常微分方程（组）的求解问题，调用格式为：
X=dsolve(‘eqn1’,’eqn2’,…)
函数dsolve用来解符号常微分方程、方程组，如果没有初始条件，则求出通解，如果有初始条件，则求出特解.
注意，系统缺省的自变量为t
2.函数dsolve求解的是常微分方程的精确解法，也称为常微分方程的符号解.但是，有大量的常微分方程虽然从理论上讲，其解是存在的，但我们却无法求出其解析解，此时，我们需要寻求方程的数值解，在求常微分方程数值解方面，MATLAB具有丰富的函数，我们将其统称为solver，其一般格式为：
[T,Y]=solver(odefun,tspan,y0)
说明：(1)solver为命令ode45、ode23、ode113、ode15s、ode23s、ode23t、ode23tb、ode15i之一.
(2)odefun是显示微分方程在积分区间tspan上从到用初始条件求解.
(3)如果要获得微分方程问题在其他指定时间点上的解，则令tspan(要求是单调的).
(4)因为没有一种算法可以有效的解决所有的ODE问题，为此，Matlab提供了多种求解器solver，对于不同的ODE问题，采用不同的solver.
表1 Matlab中文本文件读写函数
求解器
ODE类型
特点
说明
ode45
非刚性
单步算法：4、5阶Runge-Kutta方程；累计截断误差
大部分场合的首选算法
ode23
非刚性
单步算法：2、3阶Runge-Kutta方程；累计截断误差
使用于精度较低的情形
ode113
非刚性
多步法：Adams算法；高低精度可达
计算时间比ode45短
ode23t
适度刚性
采用梯形算法
适度刚性情形
ode15s
刚性
多步法：Gear’s反向数值微分；精度中等
若ode45失效时，可尝试使用
ode23s
刚性
matlab等高线命令单步法：2阶Rosebrock算法；低精度
当精度较低时，计算时间比ode15s短
ode23tb
刚性
梯形算法；低精度
当精度较低时，计算时间比ode15s短
说明：ode23、ode45是极其常用的用来求解非刚性的标准形式的一阶微分方程（组）的初值问题的解的Matlab常用程序，其中：
ode23采用龙格-库塔2阶算法，用3阶公式作误差估计来调节步长，具有低等的精度.
ode45则采用龙格-库塔4阶算法，用5阶公式作误差估计来调节步长，具有中等的精度.
3．在matlab命令窗口、程序或函数中创建局部函数时，可用内联函数inline，inline函数形式相当于编写M函数文件，但不需编写M-文件就可以描述出某种数学关系.调用inline函数，只能由一个matlab表达式组成，并且只能返回一个变量，不允许[u,v]这种向量形式.因而，任何要求逻辑运算或乘法运算以求得最终结果的场合，都不能应用inline函数，inline函数的一般形式为：
FunctionName=inline(‘函数内容’, ‘所有自变量列表’)
例如：（求解F(x)=x^2*cos(a*x)-b ,a,b是标量；x是向量 ）在命令窗口输入:
Fofx=inline(‘x .^2*cos(a*x)-b’ , ‘x’,’a’,’b’);
g= Fofx([pi/3 pi/3.5],4,1)
系统输出为：g=-1.5483 -1.7259
注意：由于使用内联对象函数inline不需要另外建立m文件，所有使用比较方便，另外在使用ode45函数的时候，定义函数往往需要编辑一个m文件来单独定义，这样不便于管理文件，这里可以使用inline来定义函数.
二．实例介绍
1.几个可以直接用Matlab求微分方程精确解的实例
例1 求解微分方程
程序：syms x y; y=dsolve(‘Dy+2*x*y=x*exp(-x^2)’,’x’)
例2 求微分方程在初始条件下的特解并画出解函数的图形.
程序：syms x y; y=dsolve(‘x*Dy+y-exp(1)=0’,’y(1)=2*exp(1)’,’x’);ezplot(y)
例 3 求解微分方程组在初始条件下的特解并画出解函数的图形.
程序：syms x y t
[x,y]=dsolve('Dx+5*x+y=exp(t)','Dy-x-3*y=0','x(0)=1','y(0)=0','t')
simple(x);
simple(y)
ezplot(x,y,[0,1.3]);axis auto
2.用ode23、ode45等求解非刚性标准形式的一阶微分方程（组）的初值问题的数值解（近似解）
例 4 求解微分方程初值问题的数值解，求解范围为区间[0,0.5].
程序：fun=inline('-2*y+2*x^2+2*x','x','y');
[x,y]=ode23(fun,[0,0.5],1);
plot(x,y,'o-')
例 5 求解微分方程的解，并画出解的图形.
分析：这是一个二阶非线性方程，我们可以通过变换，将二阶方程化为一阶方程组求解.令，则
编写M-文件vdp.m
function fy=vdp(t,x)
fy=[x(2);7*(1-x(1)^2)*x(2)-x(1)];
end
在Matlab命令窗口编写程序
y0=[1;0]
[t,x]=ode45(@vdp,[0,40],y0);或[t,x]=ode45('vdp',[0,40],y0);
y=x(:,1);dy=x(:,2);
plot(t,y,t,dy)
练习与思考：M-文件vdp.m改写成inline函数程序？
3.用Euler折线法求解
Euler折线法求解的基本思想是将微分方程初值问题
化成一个代数(差分)方程，主要步骤是用差商替代微商，于是
记从而于是
例 6 用Euler折线法求解微分方程初值问题
的数值解（步长取0.4），求解范围为区间[0,2].
分析：本问题的差分方程为
程序：>> clear
>> f=sym('y+2*x/y^2');
>> a=0;
>> b=2;
>> h=0.4;
>> n=(b-a)/h+1;
>> x=0;
>> y=1;
>> szj=[x,y];%数值解
>> for i=1:n-1
    y=y+h*subs(f,{'x','y'},{x,y});%subs，替换函数
    x=x+h;
    szj=[szj;x,y];

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